Dados 5 balones diferentes y 5 cajas diferentes, ¿de cuántas formas puedes colocar los balones en las cajas de forma que como máximo 3 cajas queden vacías?

Question

Mi respuesta: Como, al menos 2 cajas no deben estar vacías, necesitamos tener 2 cajas con una bola cada una. No de maneras en que podemos hacer eso es $\binom52^22$ (formas de elegir 2 bolas * formas de elegir 2 cajas * formas de colocar las bolas elegidas en la caja). Nos quedarán 3 bolas, que se pueden colocar en $5^3$ maneras. $$2\binom525^3= 8×5^5$$ Pero la respuesta dada es $5^5 - 5$ . ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Obviamente la respuesta no puede ser mayor que $5^5$ el número de formas de colocar las bolas en las casillas sin restricciones. Ahora bien, la única manera de tener más de 3 cajas vacías es tener 4 vacías y que la caja restante tenga todas las bolas, lo que puede ocurrir de 5 maneras, de ahí la respuesta correcta dada de $5^5-5$ .