cuestión de álgebra lineal

Question

Encontrar la ortogonal $Q$ para que $Q^{-1}AQ=B$ si
$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
a continuación, encontrar un segundo par de vectores propios ortonormales $x_1,x_2$ para $\lambda=0$ .
Demuestre que $P=x_1x_1^{T}+x_2x_2^{T}$ es el mismo para ambos pares.

Mi solución
Los valores propios de A son 0,0,3. Los vectores propios correspondientes son $x_1=(-1, 1, 0) , x_2=(1,-1, 0) , x_3=(1, 1, 1)$
Usando gram-schmidt, encontré
$Q=\begin{pmatrix} \frac{-1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$

En realidad, no estoy seguro de lo que significa "segundo par", pero Elegí otro par de $x_1=(-1/2, 1/2, 0) , x_2=(1/2, -1/2, 0)$
Entonces, por la fórmula dada, P es igual a ambos pares.

No estoy seguro de haberlo hecho bien. ¿Es correcto?

Answer 1

Ampliando comentario para responder:

En primer lugar, hay que elegir vectores propios linealmente independientes para el valor propio 0. Una vez elegidos $x_1=(-1,1,0)$ se puede, por ejemplo, elegir $x_2=(1,0,-1)$ . Pero como queremos algo ortogonal a $x_1$ una mejor opción es $x_2=(1,1,-2)$ . Esto conduce a la matriz ortogonal $$Q=\pmatrix{-1/\sqrt2&1/\sqrt6&1/\sqrt3\cr1/\sqrt2&1/\sqrt6&1/\sqrt3\cr0&-2/\sqrt6&1/\sqrt3\cr}$$ Un par diferente de vectores propios (normalizados) para el valor propio 0 viene dado por $x_1=(1/\sqrt{14})(1,-3,2)$ , $x_2=(1/\sqrt{38})(5,-3,-2)$ . Dejamos al lector la tarea de calcular $x_1x_1^t+x_2x_2^t$ para ambos pares (normalizados).