Cálculo estocástico: son $E_t\left[X_T\right]$ y $E \left[ X_T | \mathcal{F}_t \right]$ ¿equivalente?

Question

En cálculo estocástico, utilizo la notación $E_t\left[X_T\right]$ más que yo $E \left[ X_T | \mathcal{F}_t \right]$ . A veces, por comodidad, utilizo la primera libre e indistintamente con la segunda. Pero, en el fondo de mi mente, siempre me pregunto y de ahí mi pregunta:

Son las dos expresiones, $E_t\left[X_T\right]$ y $E \left[ X_T | \mathcal{F}_t \right]$ ¿es realmente equivalente?

Entiendo que la expresión completa $E \left[ X_T | \mathcal{F}_t \right]$ denota el tiempo- $T$ expectativa de la variable estocástica $X(t)$ dada su filtración, o toda la información, hasta el momento $t$ . Pensé que $E_t\left[X_T\right]$ denota otro tanto. Entonces, de nuevo, la gente usa la mano larga $E \left[ X_T | \mathcal{F}_t \right]$ religiosamente, lo que me hace detenerme y plantear la pregunta anterior.

Me gustaría saber si son diferentes en algo, por sutil que sea. O, en caso contrario, cuál es el estigma de utilizar el más económico $E_t[X_T]$ ?

Answer 1

Sí, son explícitamente equivalentes. De hecho, no es raro que la gente escriba $E_{\mathcal{F}} X = E[X|\mathcal{F}]$ haciendo hincapié en la naturaleza proyectiva de las expectativas condicionales; véase Thm 5.1. en Kallenberg's Fundamentos de la probabilidad moderna . Así que formalmente denotando $E_{\mathcal{F}_t} =: E_t$ es perfectamente formal. Ahora, supongamos que estamos interesados en diferentes filtraciones, digamos una mínimamente aumentada y otra no. Entonces $E_t$ debe contrastarse con otro operador de expectativa condicional (digamos $\tilde{E}_t$ ). A estas alturas creo que la notación complica las cosas. Otra situación que se menciona en los comentarios son los procesos de Markov, donde la ley de un proceso de Markov se denota típicamente $P_x$ o $P^x$ . A que la dependencia de la filtración entonces es la notación sugerida $E_x^t,E_{x,t}$ o $E_t^x$ ?