Supongamos que $u(t)$ satisface la ecuación diferencial
$$\dot{u}(t)=a(t)[u(t)-\sin(u(t))]+b(t),\;u(0)=u_0$$
para todos $t\in\mathbb R$ . Supongamos además que $a,b$ son continuos integrables en $\mathbb R$ . Ahora quiero demostrar que $u(t)$ permanece acotada en todo $\mathbb R$ .
Como no sé muy bien por dónde empezar, quería preguntar si alguien quiere darme alguna pequeña pista
Multiplica ambos lados por $u(t)$ para obtener $$\frac12 \frac d{dt} |u|^2 = a u [u-\sin(u)]+ u b \le (|a| + |b|) (|u|+1)^2 \le 2(|a| + |b|)(|u|^2+1).$$ Divide ambos lados por $2(|u|^2+1)$ para obtener $$ \frac14 \frac d{dt} \log(|u|^2+1) \le |a| + |b| .$$ Integrar desde $t = 0$ a $t = T$ para obtener $$ |u(T)|^2 + 1 \le (|u_0|^2+1) \exp\left(4 \int_0^T |a| + |b| \, dt\right) < \infty .$$
No funciona para esta configuración general: si $a\equiv 0$ y $b(t)\ge1$ entonces $u$ no está limitada en $\mathbb R$ .
Edición: Me olvidé del requisito de integrabilidad.
Podrías intentar usar la desigualdad de Gronwall. http://en.wikipedia.org/wiki/Gronwall%27s_inequality
Sospecho que necesitas $a(t)\le0$ para obtener la acotación.
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