Concretamente, necesito saber la distancia del centro a los vértices, y la distancia a las caras.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
blue
Puntos
394
Una forma de calcularlo es considerando los triángulos adecuados dentro del dodecaedro y utilizando la trigonometría hiperbólica. Esto es casi lo mismo que se podría hacer en geometría euclidiana, sólo que se empieza con algún triángulo con ángulos fijos que fija sus longitudes en geometría hiperbólica. Es una aproximación válida, sin embargo esto probablemente lleva a cálculos muy feos así que sólo esbozaré qué triángulos consideras. Y realmente espero que alguien encuentre una manera inteligente de calcular esto.
Hay un triángulo formado por el centro $A$ de un dodecaedro, el centro $B$ de una cara y el centro $C$ de un borde de la cara. Este triángulo tiene un ángulo de 90° en $C$ y un ángulo de 45° en $B$ . Si podemos calcular la distancia $\ell$ entre los dos vértices de estos ángulos entonces también podemos calcular las otras longitudes en el triángulo y una de ellas es la distancia entre el centro y el centro de una cara.
Para calcular la longitud que falta $\ell$ Consideremos el triángulo que se obtiene uniendo en una de las caras el centro con un vértice y con el centro de una arista adyacente. Llama al vértice $D$ y tomar el centro del borde para ser $C$ como antes. Esto nos da un triángulo con un ángulo de 90° en el centro de la arista, un ángulo de 45° en el vértice y un ángulo de 72° en el centro de la cara. Así puedes calcular todas las longitudes de este triángulo.
Ahora bien, si también se quiere calcular la distancia desde el centro al dodecaedro hasta los vértices, se consideran los riángulos $ABC$ y $ACD$ para llegar desde $AB$ vía $AC$ a $AD$ .
