Función continua y límite

Question

Supongamos que $f$ una función continua donde $$\lim_{x\to+\infty} { f(x+1)- f(x)}=l.$$ Cómo demostrarlo $$\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=l\,?$$

Ya he demostrado por el teorema de Cesaro que $$\lim_{n\to +\infty}\frac{f(n) }{n}=l,$$ donde $n$ es un número entero. ¿Cómo continuarlo?

Answer 1

Ponga $g(x)=f(x)-lx$ . Entonces $g$ es continua, $\lim_{x\to +\infty}g(x+1)-g(x)=0$ y tenemos que demostrar que $\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}x=0$ . Fijar $\varepsilon>0$ et $n_0$ un número entero tal que $|g(x+1)-g(x)|\leq\varepsilon$ si $x\geq n_0$ . Sea $M:=\sup_{x\in [x_0,x_0+1]}|g(x)|$ que es finito, ya que $g$ es continua. Sea $x\geq n_0$ . Podemos encontrar $N=N(x)$ tal que $x-N\in [x_0,x_0+1[$ . Desde $$g(x)-g(x-N)=\sum_{k=0}^{n-1}g(x-k)-g(x-k-1),$$ tenemos $\frac{|g(x)-g(x-N)|}N\leq\varepsilon$ Por lo tanto $|g(x)-g(x-N)|\leq N\varepsilon$ . Obtenemos $$\left|\frac{g(x)}x\right|\leq \frac{N\varepsilon}x+\frac{|g(x-N)|}x\leq \frac{N\varepsilon}x+\frac Mx,$$ y puesto que $x_0\leq x-N$ , $\frac{x_0}x\leq 1-\frac Nx$ Así que $\frac Nx\leq 1-\frac{x_0}x\leq 1$ y tenemos $$\forall \varepsilon>0,\,\forall x\geq n_0,\quad \left|\frac{g(x)}x\right|\leq \varepsilon+\frac Mx,$$ así que para todos $\varepsilon>0,\: \limsup_{x\to+\infty}\left|\frac{g(x)}x\right|\leq\varepsilon$ que es el resultado deseado.