¿Por qué esta serie de Fourier tiene un número finito de términos?

Question

Estoy aprendiendo sobre las series de Fourier en clase y la forma básica de una serie de Fourier es

$$a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} [a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)]$$

por lo que una serie de Fourier debería tener un número infinito de términos.

Estaba leyendo el libro y dice que la serie de fourier de $\cos^{2}(3x)$ es $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(6x)$ . Estoy asumiendo que el $\frac{1}{2}$ es el $a_{0}$ término. Si se trata de la serie de Fourier, ¿por qué no tiene un número infinito de términos como la forma anterior? ¿Por qué sólo se detiene en un término después del $\frac{1}{2}$ ¿término?

Answer 1

A problema relacionado . Fíjate que, $b_n=0$ ya que el integrando $\sin(nx)\cos^{2}(3x)$ es una función impar en el intervalo $[-\pi,\pi]$ . Para $a_n$ tenemos

$$ a_n = \frac{2}{\pi}\,{\frac {\sin \left( \pi \,n \right) \left( {n}^{2}-18 \right) }{n \left( {n}^{2}-36 \right) }}.$$

De lo anterior se desprende que $a_n=0,\forall n\neq 6 $ . Para encontrar $a_6$ Basta con tomar el límite de la expresión anterior como $n \to 6.$

Ver aquí para fórmulas para $a_n$ y $b_n$ .

Answer 2

En realidad, la serie de Fourier de las funciones periódicas que son suaves (sin discontinuidad y sin aristas) es finita. En otras palabras, todas las funciones periódicas suaves pueden representarse como un polinomio trigonométrico.

Como su función es suave, su serie de Fourier es finita. Incluso funciones periódicas suaves tan peculiares como $f(x)=sin(\sin x)$ o $f(x)=e^{\sin x}$ Esta es una propiedad muy curiosa e interesante de las funciones periódicas suaves.

Fuente del primer párrafo: Física: Fundamentos y aplicaciones por Robert M. Eisberg y Laurence Lerner.

Answer 3

La descomposición de Fourier de la función $$f(x) = a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} [a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)]$$ es sólo la función original $$a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} [a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)].$$

Si las secuencias $a_n$ , $b_n$ son siempre cero después de un número finito de términos no nulos, entonces tendrás una descomposición finita, exactamente como en tu ejemplo.

Las funciones de este tipo se denominan "polinomios trigonométricos".