¿Por qué esta serie de Fourier tiene un número finito de términos?

Question

Estoy aprendiendo sobre las series de Fourier en clase y la forma básica de una serie de Fourier es

$$a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} [a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)]$$

por lo que una serie de Fourier debería tener un número infinito de términos.

Estaba leyendo el libro y dice que la serie de fourier de $\cos^{2}(3x)$ es $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(6x)$ . Estoy asumiendo que el $\frac{1}{2}$ es el $a_{0}$ término. Si se trata de la serie de Fourier, ¿por qué no tiene un número infinito de términos como la forma anterior? ¿Por qué sólo se detiene en un término después del $\frac{1}{2}$ ¿término?

Answer 1

Bueno, puedes seguir pensando que tiene un número infinito de términos, sólo que la mayoría de los términos son cero.

Para un ejemplo similar, considere la serie de Taylor de $1 + x + x^2$ . Como todo lo que pasa por la segunda derivada es cero, todos los coeficientes de los términos con potencia mayor que $2$ son cero, por lo que la expansión en serie es sólo la función misma. Algo similar ocurre con la transformada de Fourier: $\cos^2(3x)$ es ortogonal a los términos cuyos coeficientes no son $a_0$ y $a_6$ por lo que su contribución a la descomposición de Fourier es nula.

Answer 2

No se detiene. Simplemente son todos cero. $a_n = 0$ . Así que puedes escribir $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos(6x) + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 \dots$ si quieres.

Answer 3

Una razón "práctica" podría ser que la función que intentas aproximar utilizando una serie sinusoidal es en sí misma una función sinusoidal. Así que no es una aproximación sino una descripción exacta. cos^2 3x = 1/2 + cos 6x/2 (utilizando la identidad trigonométrica).

Lo mismo ocurre con las funciones polinómicas, cuando se intenta aproximarlas con series de Taylor. (La aproximación por series de Taylor no es otra cosa que, tratar de aproximar una función utilizando un polinomio).

Answer 4

Digamos que quieres ampliar una función $f$ utilizando cualquier función de base (llámese $b_n$ ). Entonces, si su $f$ es ya una combinación lineal de un número finito de $f_n$ La expansión de tu empresa también será finita. Funciona en ambos sentidos. Una combinación lineal finita significa una expansión finita y una expansión finita significa una combinación lineal finita.

En el caso de las series de Fourier, las funciones base son los senos y los cosenos. Como sólo se obtiene una expansión finita, entonces la función está formada por un montón de (número finito de) senos y cosenos. No importa lo que pueda "parecer".

Lo mismo ocurre con la expansión de Taylor. Cuando se utilizan expansiones de Taylor, las funciones de base son $1,x,x^2,x^3,x^4,...$ por lo que si una función tiene una expansión de Taylor finita entonces ella misma debe ser un polinomio. Y es cierto, los polinomios (y sólo los polinomios) tienen una expansión de Taylor finita. Sólo para reírte, prueba $f(x)=\cos(3\arccos(x))$ . Verás que tiene una expansión de Taylor finita y por tanto es un polinomio.

Answer 5

Porque su función es en realidad un finito combinación lineal de términos como los que aparecen en las series de Fourier. No hay magia: si se calculan todos los coeficientes, se verá que la mayoría son cero. La serie tiene infinitos términos, pero todos menos un número finito de ellos desaparecen.

Para un ejemplo más sencillo, intente encontrar la serie de Fourier de $\cos(17x)$ .