Si $S_{n,m}=\sum_{k=1}^{n} k^m =\sum_{j=0}^{m-1} A_{n,j}(m) S_{n,j},$ ¿qué son $A_{n,j}(m)$

Question

Sabemos que la suma de los primeros $n$ números naturales, sus cuadrados y cubos. suma de potencias superiores puede calcularse utilizando las diferencias: $k^m-(k-1)^{m}$ . Sin embargo, estas fórmulas no se recuerdan bien. Recientemente, la Dra. Mythili Subramanian y yo hemos empezado a preguntarnos si se puede escribir $$S_{n,m}=\sum_{k=1}^{n} k^m =\sum_{j=0}^{m-1} A_{n,j}(m)~ S_{n,j}$$ entonces cuál es la expresión/nombre de los coeficientes: $A_{n,j}(m)?$

Curiosamente, conocemos el resultado asintótico de que $$\sum_{k=1}^{n} k^m \sim \frac{n^{m+1}}{m+1}, ~\text{when $ n $ is large}.$$ Cualquier sugerencia, información o ayuda es bienvenida aquí. Nosotros también estamos intentando conseguirlo.

Answer 1

Si el $A_{n,j}$ pueden depender de $m$ se puede proceder de la siguiente manera. Comenzamos con $$k^m = \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} {( - 1)^{m + j - 1} \binom{m}{j}S_{k,j} } .$$ Suma de $k$ da $$\begin{align*} S_{n,m} & = \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} {( - 1)^{m + j - 1} \binom{m}{j}\sum\limits_{k = 1}^n {S_{k,j} } } \\ & = \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} {( - 1)^{m + j - 1} \binom{m}{j}(n + 1)S_{n,j} } - \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} {( - 1)^{m + j - 1} \binom{m}{j} S_{n,j + 1} } \\ & = - mS_{n,m} + ( - 1)^{m - 1} n(n + 1) + \sum\limits_{j = 1}^{m - 1} {( - 1)^{m + j - 1} \left[ \binom{m}{j}(n + 1) + \binom{m}{j-1} \right]S_{n,j} } . \end{align*}$$ Así, $$S_{n,m} = \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} {( - 1)^{m + j - 1} \frac{1}{{m + 1}}\left[ \binom{m}{j}(n + 1) + \binom{m}{j-1} \right]S_{n,j} } .$$