¿Por qué una abertura circular se define mediante la función círculo en lugar de mediante una función escalonada heaviside?

Question

En el capítulo 4 del texto "Introduction To Fourier Optics" de Goodman, se estudió el patrón de difracción de la luz que atraviesa una abertura circular. El patrón de difracción en el plano imagen $(x_i, y_i)$ viene dada por la transformada de Fourier de la transmitancia de amplitud $U(x_o,y_o)$ en el plano de apertura $(x_o, y_o)$ con fases relevantes; mediante la aproximación de Fraunhofer. Es decir

$$U(x_i,y_i) = \frac{\exp[ikz] \exp[ik(x_i^2 + y_i^2)/2z]}{i\lambda z}\mathcal{F}\left[U(x_o,y_o)\right]\, .$$

Para una abertura circular de diámetro $l$ el autor utiliza la transmitancia de amplitud, $U(x_o,y_o)=circ\left(\frac{r}{l/2}\right)$ . En $r=\sqrt{x_o^2+y_o^2}$ y,

$$ circ(r) = \begin{cases} 1, & \text{for } r < 1 \\ 1/2, & \text{for } r = 1 \\ 0, & \text{for }r > 1 \, . \end{cases} $$

Mi pregunta es, ¿cuál es la razón de la $1/2$ cuando $r=1$ ? ¿No podemos utilizar una función escalón heaviside en la coordenada radial para encapsular la transmitancia de amplitud? Es decir $U(x_o,y_o) = H(r-l/2)$ , donde,

$$ H(r-r_0) = \begin{cases} 1, & \text{for } r \leq r_0 \\ 0, & \text{for } r > r_0 \,. \end{cases} $$

Answer 1

Una función que cumple la llamada condición de Dirichlet, es decir, que tiene un número finito de discontinuidades y un número finito de trozos monótonos (más generalmente tiene una variación finita), véase 1 , su serie o transformada de Fourier tomará el valor del punto medio en los puntos de discontinuidad, por lo que es conveniente asumir ese valor desde el principio ya que al final no supone ninguna diferencia.