Estoy en un curso de máster sobre ecuaciones en diferencias, y la semana pasada discutimos teoremas que pueden aplicarse para mostrar las características de estabilidad de equilibrios no hiperbólicos de ecuaciones en diferencias de primer orden. Uno de estos teoremas implicaba una aplicación de la derivada de Schwarz:
$$ S(f) = \frac{f'''}{f'} - \frac{3}{2} (\frac{f''}{f'})^2 $$
El teorema dice:
Dado $ f: I \mapsto I$ y $ x_{n+1} = f(x_n), n = 0, 1, ...$ y $\bar{x}$ un punto de equilibrio de f.
Tenemos para
1) ${f'}(\bar{x}) = -1$
2) ${f'}(\bar{x}) = 1$
que
i) $Sf(\bar{x}) < 0 \to \bar{x}$ es localmente estable asintóticamente.
ii) $Sf(\bar{x}) > 0 \to \bar{x}$ es inestable.
Así que me pregunté: "¿Qué pasa cuando $Sf(x)=0$ ?"
Fijando la derivada de Schwarz igual a cero y simplificando llegué a la siguiente ecuación diferencial no lineal de tercer orden:
$$ \frac{3}{2} {f''}^2 = {f'''}{f'} $$
Adivinando que la forma de la solución es $f(x) = a x^m$ pude encontrar una familia de soluciones:
$$ f(x) = \frac{a}{x} + c $$
y por intuición encontró un segundo
$$ f(x) = -x + c $$
donde a y c son constantes arbitrarias.
Curiosamente, ambas soluciones cumplen la condición de que ${f'}(\bar{x}) = -1$ . Además, estas dos funciones cuando se toman como ecuaciones en diferencias, (es decir:
$$ x_{n+1} = \frac{a}{x_n} $$
presentan soluciones estables y (aparte de los propios puntos de equilibrio) periódicas con período 2, pero no localmente estables asintóticamente.
Mi pregunta es, ¿he encontrado las únicas soluciones a la EDO anterior? Si no, ¿cuáles son algunos otros métodos de solución / enfoques para tratar de encontrar otras soluciones a la ODE?
