¿Qué significa realmente que un polinomio sea resoluble en $\mathbb{Z}$ si $\mathsf{ZFC}$ ¿es incoherente?

Question

Estaba leyendo esta respuesta que dice que:

En su tesis de máster, Merlin Carl ha calculado un polinomio que es resoluble en los números enteros si ZFC es inconsistente. Un trabajo conjunto con su asesor Boris Moroz sobre este tema puede consultarse en http://www.math.uni-bonn.de/people/carl/preprint.pdf .

Tenga en cuenta que el enlace no está disponible. Emil Jerábek ha proporcionado un enlace alternativo aquí: Un polinomio que codifica la demostrabilidad en matemáticas puras (esbozo de una construcción explícita) .

Esa frase "resoluble en los enteros si $\mathsf{ZFC}$ es incoherente". Si $\mathsf{ZFC}$ es inconsistente, entonces por supuesto el polinomio es resoluble en los números enteros - ¡cada afirmación del modelo es cierta! Así que parece ser sólo una manera elegante de decir que el polinomio no es resoluble en los números enteros.

Creo que me estoy perdiendo algunas sutilezas aquí, así que me gustaría que alguien abordara esta confusión mía.

Answer 1

Edito: Después de escribir esto, se ha publicado el artículo en los comentarios. Lo que escribí a continuación es lo que se quiere decir, sin embargo, utilizan $\mathsf{GBC}$ en lugar de $\mathsf{ZFC}$ . Dado que estas dos teorías son equiconsistentes y tienen las mismas consecuencias de primer orden, esta diferencia técnica es irrelevante.

Sin embargo, cuando la gente dice cosas así hay varias formas de interpretarlo, ninguna de ellas trivial. Si tuviera que adivinar, probablemente lo que se quiere decir es algo así como ``hay un polinomio $p(x)$ (a menudo calculado de forma concreta) y $\mathsf{ZFC}$ prueba ( $\exists x \in \mathbb Z$ $p(x) = 0$ si $\mathsf{ZFC}$ es incoherente) ". Por el segundo teorema de incompletitud incluso si $\mathsf{ZFC}$ es consistente no puede demostrar este hecho por lo que la equivalencia no es trivial. Además, hay modelos en $\mathsf{ZFC}$ que piensan $\mathsf{ZFC}$ es consistente, y en tales modelos no hay soluciones enteras para $p(x)$ y otros modelos de $\mathsf{ZFC}$ que piensan que $\mathsf{ZFC}$ es inconsistente y en tales modelos algún entero (necesariamente no estándar) satisfará $p(x)$ .

La cuestión suele ser que los tipos de codificación que conducen a los teoremas de incompletitud pueden, de hecho, codificarse en polinomios sorprendentemente concretos. En el caso de $\mathsf{PA}$ hay muchos ejemplos de ello a partir del teorema de MRDP/Matiyasevich. En el artículo de wikipedia sobre ecuaciones diofantinas se menciona esto: https://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_set Ver `` más aplicaciones".