Estoy intentando averiguar cómo obtener todos los cosets izquierdos del subgrupo $S_{3}$ generado por $(1,2)$ . Sé lo que $\langle (1,2) \rangle = \{ (0,0),(1,2) \}$ . No estoy seguro de cómo la clave de respuestas se $(1,3)\langle(1,2) \rangle = \{ (1,3), (1,2,3) \}$ y $(2,3) \langle (1,2) \rangle = \{ (2,3), (1,3,2) \}$
Respuesta
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$S_3=\{(), (12), (13), (23), (123),(132) \}$ es de orden $6.$
El subgrupo $\langle (12) \rangle= \{(),(12) \}$ es de orden $2.$ Por el teorema de Lagrange, el número de elementos de cada subgrupo divide el orden del grupo. Todos los cosets tienen el mismo número de elementos y dividen el grupo. Por lo tanto, hay $3$ cosets de $2$ elementos cada uno.
Podemos buscar elementos de $S_3$ fuera del subgrupo $\langle (12) \rangle$ y multiplicarlos a la izquierda por todos los elementos de $\langle (12) \rangle.$ Como los subgrupos son cerrados bajo multiplicación, no tiene sentido multiplicar por elementos del subgrupo.
En el PO la primera línea de la solución implica multiplicar a la izquierda el subgrupo por $(13)$ con las permutaciones aplicadas de derecha a izquierda:
$$(13)(12)=(123)$$
porque $1$ va a $2$ en la transposición de la derecha, es decir $(12),$ y no se desplaza a ninguna otra parte por la transposición a la izquierda, es decir $(13).$ El siguiente elemento a tener en cuenta es $2,$ que va a $1$ por $(12)$ y luego pasa a $3$ por $(13).$ Por último $3$ no se mueve en la transposición a la derecha, sino que pasa a $1$ en la transposición a la izquierda.
Evidentemente, multiplicar $(13)$ veces el elemento de identidad no lo cambiará. Por lo tanto el primer coset encontrado es
$$(13)\langle (12) \rangle=\{(13), (123) \}$$
Y tenemos los demás elementos restantes constituyendo el último coset: $\{(23),(132)\}.$
