Se requiere algún truco ingenioso para esta Integral con potencia irracional del coseno como integrando.

Question

Ver esto: $$\newcommand{\b}[1]{\left(#1\right)}\left\lfloor\frac{\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^{\sqrt{13}-1}x{\rm d}x}{\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^{\sqrt{13}+1}x{\rm d}x}\right\rfloor$$ Bueno, solo se me ocurre Cauchy-Schwarz, pero tampoco encaja.

Todas las calculaciones a mano, sin Beta Y eso implícitamente implica no usar otros como Gamma también.

Answer 1

Como Daniel Fischer ayudó, usando Integración por partes: $$\int_0^{\pi/2}\cos^{\alpha+1}x{\rm d}x=\int_0^{\pi/2}\cos^{\alpha}x\cos x{\rm d}x=\cos^{\alpha}x\sin x\Bigg|_0^{\pi/2}+\alpha\int_0^{\pi/2}\cos^{\alpha-1}x\sin^2 x{\rm d}x=0+\alpha\int_0^{\pi/2}\cos^{\alpha-1}x{\rm d}x-\alpha\int_0^{\pi/2}\cos^{\alpha+1}x{\rm d}x$$ Por lo tanto: $$\frac{\int_0^{\pi/2}\cos^{\alpha-1}x{\rm d}x}{\int_0^{\pi/2}\cos^{\alpha+1}x{\rm d}x}=\frac{\alpha+1}{\alpha}$$

Answer 2

No es necesario calcular las integrales. Debido a que $0\leq \cos x\leq1$ en $[0,\pi/2]$, el poder superior de $\cos$ es menor que el inferior, por lo tanto, el piso es al menos 1. Y es fácil estimar que no puede ser 2 o más: $$ \int_0^{\pi/2}\cos^5 x\,dx=\frac8{15},\quad \int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx=\frac\pi4 $$

Answer 3

Recuerda que $$\int_0^{\pi/2} \cos^a(x)dx = \dfrac12 \beta(1/2,(a+1)/2) = \dfrac12 \dfrac{\Gamma(1/2)\Gamma((a+1)/2)}{\Gamma((a+2)/2)}$$ donde $\beta(x,y)$ es la función beta y $\Gamma(z)$ es la función gamma.

Por lo tanto, el valor de tu expresión sin el suelo es $$\dfrac{\Gamma((a+1)/2)}{\Gamma((a+2)/2)} \cdot \dfrac{\Gamma((a+4)/2)}{\Gamma((a+3)/2)} = \dfrac{(a+4)/2-1}{(a+3)/2-1} = \dfrac{a+2}{a+1}=1+\dfrac1{\sqrt{13}}$$ donde $a= \sqrt{13}-1$.

Answer 4

Otra forma es escribiendo $$\cos^{a}(x) = \cos^{a+2}(x) + \sin^2(x)\cos^a(x)$$ Por lo tanto, estamos buscando $$1+\dfrac{\int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\cos^a(x)dx}{\int_0^{\pi/2}\cos^{a+2}(x)dx}$$ Claramente, $$\dfrac{\int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\cos^a(x)dx}{\int_0^{\pi/2}\cos^{a+2}(x)dx} > 0$$ Ahora mostraremos que $$\dfrac{\int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\cos^a(x)dx}{\int_0^{\pi/2}\cos^{a+2}(x)dx} < 1$$ lo cual al reorganizar nos da, es suficiente mostrar $$ \text{ o }\int_0^{\pi/2}\cos(2x) \cos^{a}(x)dx > 0$$ Demostraremos que la última afirmación es verdadera. \begin{align} \int_0^{\pi/2}\cos(2x) \cos^{a}(x)dx & = \int_0^{\pi/4}\cos(2x) \cos^{a}(x)dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos(2x)\cos^a(x)dx\\ & = \int_0^{\pi/4}\cos(2x) \cos^{a}(x)dx + \int_{0}^{\pi/4}\cos(2(\pi/2-x))\cos^a(\pi/2-x)dx\\ & = \int_0^{\pi/4}\cos(2x) \cos^{a}(x)dx + \int_{0}^{\pi/4}\cos(\pi-2x)\sin^a(x)dx\\ & = \int_0^{\pi/4}\cos(2x) \cos^{a}(x)dx - \int_{0}^{\pi/4}\cos(2x)\sin^a(x)dx\\ & = \int_0^{\pi/4}\cos(2x) \left(\cos^{a}(x) - \sin^a(x) \right)dx > 0 \end{align} donde la última desigualdad es verdadera, ya que $\cos(x) > \sin(x)$ en el intervalo $[0,\pi/4)$. Por lo tanto, nuevamente tenemos $$1+\dfrac{\int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\cos^a(x)dx}{\int_0^{\pi/2}\cos^{a+2}(x)dx} \in (1,2)$$

Answer 5

La integración por partes da, para cualquier $\eta>0$: $$\int_{0}^{\pi/2}\cos^{\eta+1}(x)\,dx = \frac{\eta}{\eta+1}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{\eta-1}(x)\,dx \tag{1}$$ por lo tanto, tomando $\eta=\sqrt{13}$ solo necesitamos calcular: $$\left\lfloor 1+\frac{1}{\sqrt{13}}\right\rfloor = \color{red}{1}.\tag{2}$$