Prueba de que el mapeo canónico de $V$ en $V^{**}$ no es biyectiva

Question

Sea $V$ sea un espacio vectorial infinito sobre un campo inclinado $K$ y $V^{**}$ su bidual. Escribe $c_V$ para la inyección canónica de $V$ en $V^{**}$ . Quiero demostrar que $c_V$ no es suryectiva.

Podemos limitarnos al caso en que $V:= K_s^{(L)}$ para un conjunto infinito $L$ . En ese caso existe un isomorfismo de $\varphi$ de $V^*$ en $K^L$ . Sea $(a_\lambda)_{\lambda\in L}$ sea la base canónica de $V$ y $(a^*_\lambda)_{\lambda\in L}$ sea la familia correspondiente de formas de coordenadas en $V^*$ . Sea $F'$ sea la extensión de la familia $(a^*_\lambda)_{\lambda\in L}$ en $V^*$ . Entonces $V^*\ne F'$ de lo contrario $K^{(L)}_d=\varphi(F')=\varphi(V^*)=K^L$ . Esto implica que existe un hiperplano $H'$ de $V^*$ tal que $F'\subset H'$ . Claramente $H'\ne V^*$ de lo que se deduce que $(V^*/H')^*\ne0$ y $(V^*/H')^*\cong H''$ donde $H''$ es el ortogonal de $H'$ en $V^{**}$ . Escriba a $F$ para el ortogonal de $F'$ en $V$ . En este punto el autor dice que $$(H''\cap c_V(V))\subset c_V(F)=0.$$ No entiendo por qué $c_V(F)=0$ ? Por definición $$F:=\{x\in V\ |\ (\forall x^*)(x^*\in F'\implies\langle x,x^*\rangle=0)\}.$$ Toma $x\in F$ y $x^*\in V^{*}$ . ¿Por qué $c_V(x)(x^*)=\langle x,x^*\rangle=0$ ?

Answer 1

Esto se debe a que $F$ es $0$ . En efecto, si $x\in F$ en particular $\langle x,a_\lambda^*\rangle=0$ para cada $\lambda$ lo que significa que cada coordenada de $x$ es $0$ así que $x$ es $0$ .