$[f'(x)]^2-f(x)f''(x)$ no tiene raíces reales, si $f(x)=\prod_{i=1}^n (x-x_i)$ , $x_i$ sean números reales distintos

Question

$[f'(x)]^2-f(x)f''(x)$ no tiene raíces reales, si $f(x)=\prod_{i=1}^n (x-x_i)$ , $x_i$ sean números reales distintos

¿Cómo demostrarlo? Evidentemente, debemos considerar $f'(x)/f(x)$ . Pero, ¿qué hacer a continuación?

Answer 1

Sí, adelante. $$\log f(x)=\sum_{k=1}^{n}\log (x-x_k)$$ Diferenciar con respecto a $x$ $$\frac{f'}{f}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(x-x_k)}$$ De nuevo diferenciar con respecto a $x$ $$\frac{ff'-f'^2}{f^2}=-\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(x-x_k)^2}$$ $$\implies f(x(f'(x)-f'(x)^2=-[(x-x_2)^2(x-x_3)^2....(x-x_n)^2+(x-x_1)^2(x-x_3)^2 (x-x_4)^2...(x-x_n)^2+......]<0$$ Siendo el lado derecho la suma de cuadrados perfectos que no puede ser cero para ningún valor de $x$ .