Para la ecuación en diferencias $x_{n+1}=ax_n\exp(-x_n)$ encontrar valores de $a$ que conducen a una bifurcación de doble período y valores que conducen a la extinción

Question

Para la ecuación en diferencias, $x_{n+1}=ax_n\exp(-x_n)$ encontrar valores de $a\in(-1,1)\cup(1,e^2)$ que conducen a una bifurcación período-doble, y valores que conducen a la extinción

Así que para $x_{n+1}=ax_n\exp(-x_n)$ Pude obtener los siguientes puntos fijos, $x^*=0$ y $x^*=\ln(a)$ . Tomando la derivada, obtenemos $f'(x)=a\exp(-x)(1-x)$ .

Primer caso, para la estabilidad pude mostrar $|f'(0)|=|a|>1$ es inestable y $|f'(0)|=|a|<1$ es estable. Para el segundo caso, pude demostrar $1<a<e^2$ es estable y $a<1$ o $a>e^2$ es inestable con $|f'(\ln(a))|$ .

Ahora, este es mi caso, ya que en $a=1$ es el único valor común en el que ambos puntos fijos cambian de estabilidad y son opuestos ( $a<1$ estable para $x=0$ et $a<1$ inestable para $x=\ln(a)$ ), por lo que este es mi parámetro de bifurcación de doble período.

Para la extinción, dije $\forall\,-1<a<e^2$ ya que contiene todos los puntos en los que ambos puntos fijos permanecen estables, lo que conduce a la extinción para cualquier condición inicial. Dime si estoy totalmente equivocado en ambas respuestas, por favor.

Answer 1

En el cruce de las curvas de los dos puntos fijos en $a=1$ se produce un intercambio de estabilidad, pero no una duplicación del periodo.

El periodo se duplica cuando $f_a'(x_a)$ pasa a través de $-1$ . Así que localmente la dinámica oscila alrededor del punto fijo, la secuencia alterna lados del punto fijo. Mientras sea estable, la secuencia alternante sigue contrayéndose al punto fijo. Cuando se vuelve inestable, entonces en una distancia media todavía hay un comportamiento de alternancia-contracción, mientras que cerca del punto fijo es de alternancia-expansión, dando convergencia a un 2-ciclo.

Para hacerlo más cuantitativo, una bonita forma normal para una bifurcación es $$ y_{n+1}=\frac{ry_n}{1+y_n^2}. $$ Entonces la iteración se contrae hacia cero mientras $1+y_n^2>|r|$ que sigue siendo cierto para $|r|>1$ para $y_n$ lo suficientemente grande.

• Para $r\approx 1$ el signo de $y_n$ permanece constante, la bifurcación es una bifurcación, que evoluciona de un punto fijo estable a dos puntos fijos estables $\pm\sqrt{r-1}$ con el punto fijo inestable $0$ en el centro.
• Para $r\approx-1$ El $y_n$ suplente en señal. Pasando a $r<-1$ esto resulta en un ciclo estable de 2 $y_n=(-1)^2\sqrt{-r-1}$ .

Si $x_{n+1}=x_r+f(x_n-x_r)$ con $f(u)=ru(1+f_1u+f_2u^2+...)$ entonces la forma normal puede alcanzarse en una primera aproximación mediante $$ y_n=\phi(x_n-x_r),~~~ \phi(u)=\frac{bu}{1+cu}, $$ donde los coeficientes están relacionados con los coeficientes de $f$ vía $c=-\frac{f_1}{1-r}$ y $b^2=f_1^2-f_3$ . Esto sólo es útil para el comportamiento $r\approx-1$ para $r\approx 1$ se necesitaría algún otro $\phi$ . Siempre que el valor de $b$ no es real, esta línea de argumentos no es válida para la duplicación del período.

• Para $x_r=0$ , $r=a$ , $f(u)=\exp(-u)=1-u+\frac12u^2+...$ esto da $c=\frac1{1-r}$ y $b^2=\frac12>0$ .
• Para $x_r=\ln(a)$ en torno a $a=e^2$ obtenemos $$ u_{n+1}=(\ln(a)+u_n)\exp(-u_n)-\ln(a) =u_n(1-u_n+\tfrac12u_n^2+...)-\ln(a)u_n(1-\tfrac12u_n+\tfrac16u_n^2+..), $$ para que $r=1-\ln(a)$ , $f_1=\frac{1-\frac12\ln(a)}{\ln(a)-1}$ , $f_2=-\frac12\frac{1-\frac13\ln(a)}{\ln(a)-1}$ de modo que para $a\approx e^2$ los parámetros de $\phi$ son $c\approx 0$ y $b^2\approx \frac13>0$ .