Composición de matrices - vectores propios

Question

Diga $\lambda$ es un valor propio de $\textsf{ST}$ . Existe $\ne \textbf{0}$ tal que $\textsf{ST}x= \lambda x$ . Multiplica ambos lados por $\textsf T$ :

$$\textsf{TST}x=\textsf{T} (\lambda x)$$ $$\textsf{TS}(\textsf{T}x)=\lambda(\textsf{T}x)$$

Así $\textsf{T}x$ es un vector propio de $\textsf{TS}$ .

• ¿Por qué existe una relación tan potente entre los vectores propios de $\textsf{ST}$ et $\textsf{TS}$ ?
• ¿Cómo es que una es sólo la transformación de la otra?

Buscando una explicación geométrica/intuitiva. Se aceptan sugerencias.

Answer 1

$\require{AMScd}$ Quizá más enrevesado de lo necesario, pero déjame intentarlo.

Tenemos lo siguiente: $$S: W \to V\\ T: V \to W$$ donde $V, W$ son espacios vectoriales. Así pues, tenemos $ST: V \to W \to V$ y $TS: W \to V \to W$ . Una forma de combinar todo esto es considerar el siguiente diagrama: $$\begin{CD} V @>T>> W @>S>> V\\ @V T V V @VV S V @VV T V\\ W @>S>> V @>T>> W \end{CD}$$ Veamos, sin embargo, los dos mapas lineales $ST:V\to V$ y $TS:W\to W$ entonces $$\begin{CD} V @>ST>> V\\ @V T V V @VV T V\\ W @>TS>> W \end{CD}$$ Así que cualquier cosa que ''pase'' arriba ( $ST$ mapa) sucede ''abajo'' ( $TS$ mapa) siempre que consideremos que existe un $T$ mapa entre los dos.

Así que más geométricamente, $x$ que son los vectores propios de $ST$ son los únicos vectores en $V$ que sufren un escalado por $\lambda$ cuando solicite $ST$ pero no cambian de dirección (definición de vector propio). Del mismo modo, si $TSy= \lambda y$ con $y \in W$ . Ahora la relación anterior entre los espacios vectoriales nos dice que la relación entre cualquier vector en $V$ y $W$ está relacionada por $T$ y en particular tenemos que $y = Tx$ . Así que mientras que la dirección de los vectores propios no cambia "arriba" y "abajo" tienen que cambiar cuando se mira a ellos "a través" de los espacios (tratando de transmitir algo de intuición aquí, no estoy seguro de que ayuda)

Ahora, ¿por qué el vector propio $x$ a través de $T$ y el vector propio $y$ . Esto puede demostrarse por contradicción suponiendo que $Tw=y$ pero $w$ no es un vector propio de $ST$ .