$\require{AMScd}$ Quizá más enrevesado de lo necesario, pero déjame intentarlo.
Tenemos lo siguiente: $$ S: W \to V\\ T: V \to W $$ donde $V, W$ son espacios vectoriales. Así pues, tenemos $ST: V \to W \to V$ y $TS: W \to V \to W$ . Una forma de combinar todo esto es considerar el siguiente diagrama: \begin{CD} V @>T>> W @>S>> V\\ @V T V V @VV S V @VV T V\\ W @>S>> V @>T>> W \end{CD} Veamos, sin embargo, los dos mapas lineales $ST:V\to V$ y $TS:W\to W$ entonces \begin{CD} V @>ST>> V\\ @V T V V @VV T V\\ W @>TS>> W \end{CD} Así que cualquier cosa que ''pase'' arriba ( $ST$ mapa) sucede ''abajo'' ( $TS$ mapa) siempre que consideremos que existe un $T$ mapa entre los dos.
Así que más geométricamente, $x$ que son los vectores propios de $ST$ son los únicos vectores en $V$ que sufren un escalado por $\lambda$ cuando solicite $ST$ pero no cambian de dirección (definición de vector propio). Del mismo modo, si $TSy= \lambda y$ con $y \in W$ . Ahora la relación anterior entre los espacios vectoriales nos dice que la relación entre cualquier vector en $V$ y $W$ está relacionada por $T$ y en particular tenemos que $y = Tx$ . Así que mientras que la dirección de los vectores propios no cambia "arriba" y "abajo" tienen que cambiar cuando se mira a ellos "a través" de los espacios (tratando de transmitir algo de intuición aquí, no estoy seguro de que ayuda)
Ahora, ¿por qué el vector propio $x$ a través de $T$ y el vector propio $y$ . Esto puede demostrarse por contradicción suponiendo que $Tw=y$ pero $w$ no es un vector propio de $ST$ .
