Respuesta corta: Sí, en espacios Hurwitz.
Establezcamos estos números como las constantes de estructura de $Z_d=Z(\mathbb{C}[S_d])$ el centro del anillo de grupo del grupo simétrico $S_d$ . El anillo $Z_d$ tiene base $K_{\mu}$ donde $\mu$ es una partición de $d$ y $K_\mu$ representa la suma de todas las permutaciones de tipo ciclo $\mu$ . La multiplicación da como resultado
$$K_\mu K_\nu=\sum_{\lambda} C^\lambda_{\mu,\nu} K_\lambda$$ para algunos números $ C^\lambda_{\mu,\nu}$ que es lo que te interesa. He visto que se llaman coeficientes de conexión en el trabajo de Goulden y Jackson, por ejemplo, su artículo Factorizaciones transitivas en transposiciones y mapas holomorfos en la esfera que empieza a darte una conexión sencilla con la geometría: mirando las cubiertas ramificadas de la esfera. Primero hablaré un poco de esto, dando un esbozo y algunas indicaciones, y luego abordaré algunos de los comentarios de Mariano.
Esta conexión más sencilla con la geometría es lo que preguntaba en su pregunta anterior como "codificación Hurwitz", y la respuesta de David era buena, así que la tomaré como antecedente. Usted puede comenzar a convertir esto en un problema acerca de la teoría de la intersección mirando a los espacios de Hurwitz.
Se pueden hacer de varios sabores, pero vamos a llamar al más básico $H_{g,d}$ el espacio de moduli de todos los mapas holomorfos $\pi:\Sigma\to \mathbb{P}^1$ de grado $d$ de un genis suave $g$ Superficie de Riemann $\Sigma$ a la esfera de Riemann $\mathbb{P}^1$ . Genéricamente, todos estos mapas tendrán ramificación simple, y por la fórmula de Riemann-Hurwitz habrá $r=2g-2+2d$ tales puntos de ramificación, y así vemos que $H_{g,d}$ tendrá dimensión compleja $r$ . Podremos ver sus números como intersecciones adecuadas en el espacio de Hurwitz $H_{g,d}$ .
Hay un mapa de $H_{g,d}$ a $\mathbb{P}^r=(\mathbb{P}^1)^r/S_r$ que olvida $\Sigma$ y sólo recuerda el $r$ puntos de ramificación, (los valores críticos de $\pi$ ), contados con multiplicidad. Esto se llama a veces el mapa de la rama, y creo que es esencialmente lo que se conoce como el mapa de Lyashko-Looijenga, y por lo tanto voy a llamar a este mapa LL.
El grado del mapa LL es lo que se conoce como número de Hurwitz, y traduciéndolo todo a monodromía vemos que cuenta el número de tuplas de $r$ transposiciones $t_i$ en $S_d$ con el producto del $t_i$ siendo la identidad, dividida por $d!$ procedentes de automorfismos de la cubierta, o elegir un etiquetado del $d$ hojas de la cubierta, según su punto de vista.
Para entender geométricamente sus coeficientes de conexión, para una partición $\mu$ y un punto $p\in \mathbb{P}^1$ podríamos definir una clase de cohomología $\alpha(\mu, p)$ consistirá en los mapas de $H_{g,d}$ donde $\pi$ tiene perfil de ramificación $\mu$ en $p$ . Entonces, si hemos configurado $g$ correctamente con respecto a $\mu, \nu$ y $\lambda$ los números $C^{\lambda}_{\mu,\nu}$ debe ser, de nuevo, hasta algún factor de automorfismos, el número de puntos en la triple intersección $\alpha(\mu,p_1)\cap \alpha(\nu,p_2)\cap \alpha(\lambda, p_3)$ .
No me estoy refiriendo a algunas cosas (por ejemplo, cubiertas conectadas frente a cubiertas desconectadas) ni te estoy dando necesariamente la visión más útil en la práctica, pero ésta es la forma más sencilla de llegar a algo parecido a lo que quieres, creo -- el espacio de Hurwitz $H_{g,d}$ no es compacto, y querríamos compactarlo (la primera forma es con coberturas admisibles, pero esto acaba no siendo normal, y se puede usar algo de teoría de Gromov-Witten de orbifolds y compactarlo con ver mapas estables retorcidos para obtener la normalización). Pero esperemos que esto sea una idea de cómo iría esto. Para ver este punto de vista utilizado en la práctica, hay, por ejemplo, los documentos, por ejemplo, de Lando y Zvonkine en el Arxiv -- No estoy seguro de dónde exactamente te gustaría empezar. A través de algo conocido como la fórmula ELSV esta historia se conecta a los números de intersección en el espacio de moduli de curvas, que podría ser lo que tenías en mente ...
Para conectar con lo que decía Mariano en los comentarios, habría que entrar en la de una permutación $\sigma$ -- el número mínimo de transposiciones $\sigma$ factores en. Llamemos a esto el peso de sigma -- para una permutación de tipo ciclo $\mu$ es igual a $|\mu|-\ell(\mu)$ donde $\ell(\mu)$ es el número de partes de $\mu$ . El centro del anillo de grupo $Z_d$ se filtra por el peso, y los coeficientes "superiores" son aquellos a los que se suma el peso -- donde $d-\ell(\lambda)=d-\ell(\mu)+d-\ell(\nu)$ .
En nuestro punto de vista geométrico, el peso es la cantidad de ramificación por encima de un cierto punto, y los coeficientes superiores corresponden a coberturas donde todos los componentes son de género cero, los coeficientes donde el peso está fuera por dos significa que tenemos una cobertura de género uno, y de manera similar -- esta filtración está filtrando geométricamente por el género de nuestra cobertura. Los coeficientes "superiores" son particularmente buenos porque son independientes de $d$ y por lo tanto cuando se toma el asociado calificado para cada $s_d$ esto juega bien con las inclusiones naturales entre el $S_d$ y se obtiene algún anillo universal de todos los $S_d$ el anillo Farahat-Higman.
La mención de Mariano del esquema hilbert de puntos en el plano es una historia un poco más larga aquí -- el breve esquema como me gusta pensar en ello es que podemos ver $Z_d$ como la cohomología del orbifold de Chen=-Ruan del $\mathcal{B}S_d=point/S_d$ . La pila $\mathbb{C}^{d}/S_d$ tendrán el mismo espacio vectorial de cohomología, pero la graduación será diferente -- esto es lo que los geómetras algebraicos llaman "edad" a la que se refería Mariano. Esta edad induce exactamente la filtración anterior. La filtración se duplica para $\mathbb{C}^{2d}$ y el esquema de Hilbert de los puntos es una resolución crepuscular de este espacio, con lo que se obtiene la relación sobre homología anterior. Esta es una larga historia, y parece un poco fuera de lo que quieres.
