Demuestre que $\max(\mathrm{Re} (\exp(it)\cdot z) = |z| $

Question

Necesito demostrar que $\max(\mathrm{Re} (\exp(it)z) = |z| $ con $t\in \mathbb{R}$ y $z\in \mathbb{C}$ .

Por lo tanto, he calculado $\exp(it) = \cos(t) + i \sin(t)$ . Si escribimos $z= a+bi$ entonces $$ \mathrm{Re}(\exp(it)z) = \mathrm{Re}(\exp(it)(a+bi) = a\cdot \mathrm{Re}(\cos t + i\sin t) + b\cdot \mathrm{Re}(i\cos t - \sin t) = $$ $$ a\cdot \cos t - b \cdot \sin t $$

Para calcular el máximo, pensé en poner la derivada igual a cero, por lo que $$ -a \cdot \sin t - b\cdot \cos(t) = 0 $$

A partir de aquí, no sé cómo proceder.

Answer 1

Forma alternativa:

Siempre podemos escribir $z=\left|z\right|e^{i\alpha}$ para algunos $\alpha\in\mathbb{R}$ .

Entonces $Re\left(e^{-i\alpha}z\right)=\left|z\right|$ et $Re\left(e^{it}z\right)\leq\left|e^{it}z\right|=\left|z\right|$ para cada $t\in\mathbb{R}$ .