¿Cuánto "destruye" el forzamiento (de Grigorieff) un ultrafiltro?

Question

Introducción. Hace poco revisé el modelo de Shelah sin puntos P y me preguntaba hasta qué punto el forzamiento de Grigorieff destruye los ultrafiltros, es decir, qué tipo de propiedades pueden sobrevivir a la destrucción de la "ultra "nidad.

Un ejemplo. Dado un (ultra)filtro libre $F$ en $\omega$ , Grigorieff forzando se define como $$ G(F) := \{ f:X \rightarrow 2: \omega \setminus X \in F \},$$ parcialmente ordenados por inclusión inversa. Un simple argumento de densidad muestra que " $G(F)$ destruye $F$ " es decir, el filtro generado por $F$ en una extensión genérica es no un ultrafiltro (el genérico real es el culpable).

Por supuesto, hay muchas nociones de forzamiento que destruyen específicamente los ultrafiltros (además, Bartoszynski, Judah y Shelah demostraron que siempre que hay un nuevo real en la extensión, se destruye algún ultrafiltro del modelo terreno).

Mi pregunta es:

Si $F$ se destruye, a qué distancia está $F$ de ser el ultrafiltro que una vez fue?

Tal vez una versión más positiva: ¿Qué propiedades de $F$ ¿podemos destruir mientras preservamos otros?

Esto puede parecer terriblemente vago, así que antes de que votes para cerrar déjame explicarte qué tipo de respuestas espero.

• Respuestas positivas.
  • Si el forzamiento es $\omega^\omega$ -de rebote y $F$ es rápido, entonces $F$ seguirá siendo rápida. Es una conservación muy limpia y sencilla.
  • En el modelo de Shelah sin puntos P, todos los ultrafiltros Ramsey del modelo de tierra dejan de ser puntos P pero "siguen siendo" puntos Q.
• Respuestas "mínimas". ¿Es posible que $F$ junto con el real genérico genera un ultrafiltro, es decir, sólo hay dos ultrafiltros que extienden $F$ ? Para el forzamiento de Grigorieff, supongo que se necesita al menos un ultrafiltro de Ramsey. ¿Pero quizá otros forzamientos tengan esta propiedad?
• Respuestas negativas. Diga $F$ es un punto P; puede $F$ ¿aún puede ampliarse a un punto P? Shelah nos dice que forzar con el producto completo $G(F)^\omega$ lo niega. ¿Se sabe si $G(F)$ ¿lo niega ya? ¿Lo permiten otras nociones de forzamiento?

Sé que hay mucha literatura sobre preservar los ultrafiltros (sobre todo puntos P, creo), pero me interesa más el caso en que el ultrafiltro se destruye realmente. Pero agradecería cualquier cosa que arroje luz sobre esto.

PD: wiki comunitaria, por supuesto.

Answer 1

He aquí una prueba de que, si $F$ es un ultrafiltro y $g$ es $F$ -Grigorieff-genérica, entonces $F\cup\{g\}$ no genera un ultrafiltro en la extensión. Definir un real $x:\omega\to2$ (también visto como $x\subseteq\omega$ como de costumbre) dejando que $x(n)=\sum_{k=0}^ng(k)$ módulo 2. (Técnicamente, debería arreglar los nombres obvios de $g$ y $x$ pero para simplificar permítanme omitir los puntos resultantes sobre las letras). Supongamos, por contradicción, que $x$ o su complemento está en el filtro generado por $F\cup\{g\}$ . Entonces existe una condición $p$ y existe un conjunto $B\in F$ tal que (1) $p$ fuerzas $B\cap g\subseteq x$ o (2) $p$ fuerzas $B\cap g\subseteq\omega-x$ . Fijar dos números $a<b$ de forma que ninguno de ellos esté en el dominio de $p$ y tal que $b\in B$ . (Esto puede hacerse porque $B$ está en $F$ mientras que el dominio de $p$ no lo es.) Ahora forme dos extensiones $q$ y $q'$ de $p$ como sigue. Ambos tienen el valor 1 en $b$ (por lo que obligan a $b\in g$ y por lo tanto $b\in B\cap g$ ); ambos están definidos en $a$ pero allí toman valores opuestos; y ambos están definidos y son iguales en todos los demás números menores que $b$ . Entonces uno de ellos fuerza $b\in x$ y las otras fuerzas $b\notin x$ . Esto es absurdo, ya que ambos extienden $p$ que ya decidió entre (1) (que requerirá $b\in x$ ) y (2) (que requerirá $b\notin x$ ).

Answer 2

Quería añadir dos comentarios que he recibido en el "espacio de la carne". Espero que no sea demasiado inapropiado.

• Si $F$ es un filtro P y el forzamiento es adecuado, entonces $F$ genera un filtro P en la extensión.
• Si $F$ es un filtro Q, es decir, todo mapa finito a uno se convierte en inyectivo en un conjunto en $F$ y el forzamiento es $\omega^\omega$ -bounding, entonces $F$ genera un filtro Q en la extensión.

Se pueden encontrar pruebas de estos hechos, por ejemplo, en Shelah, Proper and Improper Forcing, capítulo VI, secciones 4 y 5 resp.

Un ejemplo más de mí mismo.

• Si $F$ es un filtro idempotente entonces $F$ seguirá siendo un filtro idempotente en cualquier extensión forzosa. En particular, si $F$ es un ultrafiltro idempotente, seguirá extendiéndose a un ultrafiltro idempotente.