El teorema de Steinhaus dice que si un conjunto $A \subset \mathbb R^n$ es de medida interna positiva de Lebesgue entonces $\operatorname{int}{(A+A)} \neq \emptyset$ . ¿Es cierto que también $\operatorname{int}{(tA+(1-t)A)} \neq \emptyset$ para $t \in(0,1)$ ? Está claro que para $t=\frac{1}{2}$ ? ¿Pero en general? Gracias.
Respuesta
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Sí.
Si $A$ tiene una medida interna positiva, entonces contiene un conjunto medible $B$ de medida finita positiva.
Ahora para $0 \lt t \lt 1$ ambos $tB$ y $(1-t)B$ tienen una medida positiva, por lo que $tB + (1-t)B$ contiene un conjunto abierto por el resultado mencionado a continuación. Por lo tanto, el interior de $tA + (1-t)A \supset tB + (1-t)B$ no está vacía.
En Corolario 20.17 en la página 296 de Hewitt-Ross, Análisis armónico abstracto, I se muestra el siguiente resultado general:
Dejemos que $X$ y $Y$ sean conjuntos medibles de medida positiva (finita) en un grupo localmente compacto con medida de Haar izquierda $\mu$ . Entonces $XY$ contiene un conjunto abierto.
La prueba se basa en mostrar que la convolución $[X]\ast[Y](z)$ de las funciones características $[X]$ y $[Y]$ es igual a la función $z \mapsto \mu(X \cap zY^{-1})$ es continua; se desvanece fuera de $XY$ y es distinto de cero porque $\int [X]\ast[Y]=\mu(X) \mu(Y) \gt 0$ Por lo tanto $XY$ debe contener un punto interior.
Algunos antecedentes, aplicaciones y otros enlaces se encuentran en este hilo aquí .
Si lee en francés, tal vez quiera echar un vistazo a Hugo Steinhaus Artículo original Sobre las distancias de los puntos de los conjuntos de medidas positivas , Fondo. Matemáticas. 1 (1920), 93-104.
De hecho, el todo el primer número de Fundamenta Mathematicae está repleto de joyas de este tipo. Catorce (!) artículos son de Waclaw Sierpinski .
