Estoy leyendo Paquetes vectoriales y fórmula de Kunneth y en la demostración del lema 2, Atiyah afirma $\widetilde K ^0(X) = [X,BU]$ y $K^1(X)=[X,U]$ sin justificación. ¿Puede alguien darme una referencia de este resultado?
¿Está relacionado con el teorema de clasificación de los haces unitarios? $K(X) \cong [X, \mathbb Z \times BU]$ y $\widetilde{K}(X) \cong [X, \mathbb Z \times BU]_0$ donde $[X,Y]_0$ son clases de homotopía de mapas preservadores del punto base. En caso afirmativo, ¿cómo?
Debería ser algo así. Por definición $K^1(X)=\tilde K(\Sigma X_+)=[S(X_+),\mathbb{Z}\times BU]_0$ donde $\Sigma$ significa la suspensión y $X_+$ es un espacio con un nuevo punto base añadido. Utilizando la adjunción del espacio de bucle en suspensión y el hecho de que el espacio de bucle basado sólo se preocupa por el componente del punto base, este conjunto es igual a $[X_+,\Omega BU]_0$ . Ahora el punto base se asigna a un punto base de $\Omega_BU$ así que podemos olvidarnos de ella, ya que sólo nos importa $X$ . Por lo tanto $K^1(X)=[X,\Omega BU]$ .
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