¿la órbita de una raíz bajo operaciones de grupo cristalográfico irreducible?

Question

Supongamos que tenemos un grupo coxeter cristalográfico irreducible G actuando en un espacio vectorial V ¿cómo podemos demostrar que la órbita de un elemento en su sistema raíz $\Delta$ ¿es el conjunto de las raíces de la misma longitud?

He mostrado esto para los tipos de grupos ADE, lo cual es bastante fácil ya que si G es un grupo ADE, entonces para cualquier elemento $r_i, r_j\in\Delta, \exists T\in G: Tr_i=r_j$ . Así pues, la órbita de cualquier elemento del sistema de raíces de un grupo del tipo ADE no es más que todo el sistema de raíces en sí, que son, por supuesto, raíces de la misma longitud porque los grupos ADE tienen raíces de la misma longitud.

Pero, ¿cómo podría mostrar esto para los tipos no ADE? es decir. $F_4, G_2, B_n$

Answer 1

Ok, así que hay una manera simple y uniforme (en términos de sistemas de raíces cristalográficas) para responder a su pregunta sin hacer caso por caso el trabajo (al menos no demasiado). No voy a repetirlo aquí, ya que está muy bien presentado en la siguiente entrada del blog Propiedades de los sistemas de raíces irreductibles III . Sin embargo, creo que puedo contribuir un poco más, ya que me has recordado una pregunta que me hacía en el pasado, y gracias a tu post, por fin me he tomado la molestia de responderla.

Así pues, lo que preguntas puede reformularse como "¿Cuántas clases de conjugación de reflexiones hay en un grupo de Weyl?". Por supuesto, esto tiene sentido en cualquier grupo de reflexión (finito) y eso es lo que me había estado preguntando en el pasado. La respuesta resulta ser como máximo dos ¡Otra vez!

En realidad, existe un método para averiguar si dos involuciones del grupo de reflexión son conjugadas, basta con mirar el diagrama de Dynkin asociado (véase por ejemplo el Capítulo VIII -Conjugacy Classes- del bellísimo "Reflection Groups and Invariant Theory" de Richard Kane).

Para las reflexiones, esto resulta especialmente agradable: En primer lugar, recordemos que cualquier reflexión es conjugada con una de las reflexiones simples. Ahora, dos reflexiones simples que son adyacentes en el diagrama de Coxeter son conjugadas si y sólo si la arista que las conecta tiene una etiqueta impar.

La implicación hacia delante es trivial. Si $(s_is_j)^{2k+1}=1$ entonces $(s_is_j)^ks_i(s_js_i)^k=s_j$ es decir $s_i$ y $s_j$ son conjugados. La otra implicación es menos directa y se reduce a demostrar que dos involuciones conjugadas cualesquiera pueden demostrarse conjugadas mediante una secuencia de equivalencias elementales . En conjunto, esto significa que dos reflexiones simples son conjugadas exactamente cuando se puede caminar de una a otra (en el diagrama de Dynkin), sin pisar nunca un borde con una incluso etiqueta.

Ahora, una simple comprobación de la clasificación del Diagramas de Coxeter-Dynkin te dirá que sólo puede haber un borde par, por lo que hay como máximo dos clases de conjugación de reflexiones. Tenga en cuenta que para esto, así como su pregunta original, sólo necesitamos la implicación trivial de arriba (pero también la clasificación ...).