Sea $M$ sea una martingala continua con $M_0=0$ y $S_n:=\inf \{t:|M_t|>n\}$ . Demuestre utilizando la Isometría de Ito que $\langle M\rangle_{S_n}$ tiene una expectativa finita para cada $n\in\mathbb{N}$ .
Sé que $S_n$ es un tiempo de parada. Pero abit atascado en cómo Isometría de Ito se puede utilizar para proceder.
En general creo que es bastante difícil intuir este tema para poder abordar los ejercicios. ¿Alguien puede indicar buenos apuntes y libros de texto?
Muchas gracias.
Pistas: Por definición, $(M_{t \wedge S_n}^2- \langle M \rangle_{t \wedge S_n})_{t \geq 0}$ es una martingala y por lo tanto $$\mathbb{E}(\langle M \rangle_{t \wedge S_n}) = \mathbb{E}(M_{t \wedge S_n}^2).$$ Desde $M$ tiene trayectorias muestrales continuas, esto implica
$$\mathbb{E}(\langle M \rangle_{t \wedge S_n}) \leq n^2.$$
Por convergencia monótona,
$$\mathbb{E}(\langle M \rangle_{S_n}) \leq n^2.$$
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