Dadas y son variables aleatorias discretas independientes con
$$\mathbb{E}[]=0, \mathbb{E}[]=1, \mathbb{E}[^2]=8, \mathbb{E}[^2]=10$$
y
$$Var()=Var()=8$$
Sea $=$ y $=+$.
Para encontrar $\mathbb{E}[AB]$, entonces
$$\mathbb{E}[AB]=\mathbb{E}[XY(X+Y)]=\mathbb{E}[X^2Y + XY^2]=\mathbb{E}[X^2Y] + \mathbb{E}[XY^2]=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y]+\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y^2]=8$$
Pero obtengo un valor diferente usando el siguiente enfoque
$$\mathbb{E}[AB]=\mathbb{E}[A]\mathbb{E}[B]=\mathbb{E}[XY]\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]*(\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y])=0$$
Por curiosidad, ¿por qué es este el caso?
Quiero creer que mi primer enfoque es correcto, por lo tanto $\mathbb{E}[AB]=8$.
De todos modos, procederé con mi pregunta real.
Para encontrar $(A)$, dado $()=[()^2]([])^2$, entonces
$$\mathsf{Var}(A)=\mathbb{E}[(XY)^2]-(\mathbb{E}[XY])^2=\mathbb{E}[X^2Y^2]-(\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y])^2=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]=8*10=80$$
Hasta aquí todo bien, sin embargo, tengo problemas para encontrar la probabilidad condicional para $(|Y=1)$.
Sé que la varianza condicional de una variable aleatoria se determina con
$$\mathsf{Var}(X|Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X|Y])^2|Y]$$
Al sustituir los parámetros respectivos, entonces
$$\mathsf{Var}(XY|Y=1)=\mathbb{E}[(XY-\mathbb{E}[XY|Y=1])^2|Y=1]$$
¿Y ahora qué? Hay una serie de expectativas condicionales anidadas.
Lo bueno es que hay una fórmula para las expectativas condicionales:
$$µ_{X | Y =y} = \mathbb{E}(X | Y = y) = \sum xf_{X | Y} (x | y).$$
Lo malo es que no sé qué hacer con ella. ¿Estoy complicando demasiado las cosas?
Lo que sé es que $\mathbb{E}(X | Y = y)$ es el valor medio de $X$, cuando $Y$ está fijo en $y$. Ya encontré el valor para $(A)$ que no sé si es útil para encontrar el condicional o no. Además, $\mathbb{E}[XY]=0$.
- Desde aquí en adelante, ¿cómo calculo la varianza condicional?
- ¿Y hay una manera más fácil y directa de evaluarla?
Espero que alguien pueda ayudarme a resolver esto. ¡Gracias!
1 votos
Si $\mathbb{E}[]=1, \mathbb{E}[Y^2]=10$ entonces $Var()=9$. Alternativamente, si $\mathbb{E}[]=1, Var()=8$ entonces $\mathbb{E}[Y^2]=9$.
1 votos
$\Bbb E(AB) \neq \Bbb E(A)~\Bbb E(B)$ porque $XY$ no está no correlacionado con $X+Y$.
0 votos
Dado que $()() ()$, entonces $A$ y $B$ no son independientes. Corríjame si me equivoco @GrahamKemp