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Varianza condicional de variables aleatorias discretas

Dadas y son variables aleatorias discretas independientes con

$$\mathbb{E}[]=0, \mathbb{E}[]=1, \mathbb{E}[^2]=8, \mathbb{E}[^2]=10$$

y

$$Var()=Var()=8$$

Sea $=$ y $=+$.

Para encontrar $\mathbb{E}[AB]$, entonces

$$\mathbb{E}[AB]=\mathbb{E}[XY(X+Y)]=\mathbb{E}[X^2Y + XY^2]=\mathbb{E}[X^2Y] + \mathbb{E}[XY^2]=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y]+\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y^2]=8$$

Pero obtengo un valor diferente usando el siguiente enfoque

$$\mathbb{E}[AB]=\mathbb{E}[A]\mathbb{E}[B]=\mathbb{E}[XY]\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]*(\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y])=0$$

Por curiosidad, ¿por qué es este el caso?

Quiero creer que mi primer enfoque es correcto, por lo tanto $\mathbb{E}[AB]=8$.

De todos modos, procederé con mi pregunta real.

Para encontrar $(A)$, dado $()=[()^2]([])^2$, entonces

$$\mathsf{Var}(A)=\mathbb{E}[(XY)^2]-(\mathbb{E}[XY])^2=\mathbb{E}[X^2Y^2]-(\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y])^2=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]=8*10=80$$

Hasta aquí todo bien, sin embargo, tengo problemas para encontrar la probabilidad condicional para $(|Y=1)$.

Sé que la varianza condicional de una variable aleatoria se determina con

$$\mathsf{Var}(X|Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X|Y])^2|Y]$$

Al sustituir los parámetros respectivos, entonces

$$\mathsf{Var}(XY|Y=1)=\mathbb{E}[(XY-\mathbb{E}[XY|Y=1])^2|Y=1]$$

¿Y ahora qué? Hay una serie de expectativas condicionales anidadas.

Lo bueno es que hay una fórmula para las expectativas condicionales:

$$µ_{X | Y =y} = \mathbb{E}(X | Y = y) = \sum xf_{X | Y} (x | y).$$

Lo malo es que no sé qué hacer con ella. ¿Estoy complicando demasiado las cosas?

Lo que sé es que $\mathbb{E}(X | Y = y)$ es el valor medio de $X$, cuando $Y$ está fijo en $y$. Ya encontré el valor para $(A)$ que no sé si es útil para encontrar el condicional o no. Además, $\mathbb{E}[XY]=0$.

  • Desde aquí en adelante, ¿cómo calculo la varianza condicional?
  • ¿Y hay una manera más fácil y directa de evaluarla?

Espero que alguien pueda ayudarme a resolver esto. ¡Gracias!

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Si $\mathbb{E}[]=1, \mathbb{E}[Y^2]=10$ entonces $Var()=9$. Alternativamente, si $\mathbb{E}[]=1, Var()=8$ entonces $\mathbb{E}[Y^2]=9$.

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$\Bbb E(AB) \neq \Bbb E(A)~\Bbb E(B)$ porque $XY$ no está no correlacionado con $X+Y$.

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Dado que $()() ()$, entonces $A$ y $B$ no son independientes. Corríjame si me equivoco @GrahamKemp

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Mouffette Puntos 205

Cuando $A$ y $B$ no son independientes, $E[AB]\overset{?}{=}E[A]E[B]$ no necesariamente se cumple.


Has escrito incorrectamente la definición de varianza condicional.

La expresión $E[(Y - E[Y \mid X])^2 \mid X]$ es la definición de $\text{Var}(Y \mid X)$, no de $\text{Var}(X \mid Y)$.

Entonces, $\text{Var}(XY \mid Y=1) = E[(XY - E[XY \mid Y=1])^2 \mid Y=1]$. Si haces el cálculo, terminarás con $\text{Var}(X)$, lo cual tiene sentido: dado que $X$ y $Y$ son independientes, $XY$ simplemente se convierte en $X$ al condicionar en $Y=1$.

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¡Vaya, lo siento! Gracias por señalarlo @angryavian . He actualizado la fórmula para la varianza condicional en mi pregunta.

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Entonces ahora me quedo con $\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X|1])^2|1]$, pero ¿cómo simplifico las condiciones anidadas para quedarme solo con las expectativas básicas de $X$, en términos de $E[X]$ o $E[X^2]? @angryavian

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heropup Puntos 29437

Esta ecuación $$\mathsf{Var}(A)=\mathbb{E}[XY]^2-(\mathbb{E}[XY])^2=\mathbb{E}[X^2Y^2]-(\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y])^2=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]=8*10=80$$ contiene errores tipográficos. La ecuación corregida, con correcciones en rojo, debe lucir así: $$\mathsf{Var}(A)=\mathbb{E}[\color{red}{(}XY\color{red}{)^2}]-(\mathbb{E}[XY])^2=\mathbb{E}[X^2Y^2]-(\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y])^2=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]=8*10=80.$$

La razón es similar a la razón por la cual $f(x)^2$ se interpreta como $(f(x))^2$, en lugar de $f(x^2)$.

La varianza condicional $$\mathsf{Var}(A \mid Y = 1)$$ es directa: Dado que $Y = 1$, entonces $A = XY = X$, por lo que $$\mathsf{Var}(A \mid Y = 1) = \mathsf{Var}(X \mid Y = 1) = \mathsf{Var}(X),$$ donde la última igualdad que establece que la varianza condicional de $X$ dado $Y = 1$ es igual a la varianza incondicional de $X$, se cumple porque $X$ e $Y$ son independientes.

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Esos errores tipográficos serán mi perdición. Todavía tengo que acostumbrarme a Tex además de que fue una larga noche ayer, así que pido disculpas por eso; acabo de corregir la ecuación en mi pregunta. Sin embargo, tu explicación es exactamente lo que buscaba, así que muchas gracias a ti <@heropup>

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Dado que $XY$ simplemente se convierte en $X$ en este escenario, entonces $\mathsf{Var}(X)=\mathbb{E}[(X)^2]-(\mathbb{E}[X])^2=8$. Otro ejemplo para comprobar si entiendo esto correctamente. Para determinar $\mathsf{Var}(A|X=2)$ dado que $X=2$, entonces $Y$ así $(2)=(2)=()=10$. ¿O me falta algo aquí? Realmente quiero entender esto, así que por favor corríjame si me equivoco.

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@nimen55290 No; dado que $X = 2$, entonces $A = XY = 2Y$, por lo tanto $$\mathsf{Var}(A \mid X = 2) = \mathsf{Var}(2Y \mid X = 2) = \mathsf{Var}(2Y) = 4 \mathsf{Var}(Y).$$

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