Dadas y son variables aleatorias discretas independientes con
$$\mathbb{E}[]=0, \mathbb{E}[]=1, \mathbb{E}[^2]=8, \mathbb{E}[^2]=10$$
y
$$Var()=Var()=8$$
Sea $=$ y $=+$ .
Para encontrar $\mathbb{E}[AB]$ entonces
$$\mathbb{E}[AB]=\mathbb{E}[XY(X+Y)]=\mathbb{E}[X^2Y + XY^2]=\mathbb{E}[X^2Y] + \mathbb{E}[XY^2]=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y]+\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y^2]=8$$
Pero obtengo un valor diferente utilizando el siguiente método
$$\mathbb{E}[AB]=\mathbb{E}[A]\mathbb{E}[B]=\mathbb{E}[XY]\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]*(\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y])=0$$
Por curiosidad, ¿a qué se debe?
Quiero creer que mi primer enfoque es correcto, por lo tanto $\mathbb{E}[AB]=8$ .
En cualquier caso, continuaré con mi pregunta.
Para encontrar $(A)$ dado $()=[()^2]([])^2$ entonces
$$\mathsf{Var}(A)=\mathbb{E}[(XY)^2]-(\mathbb{E}[XY])^2=\mathbb{E}[X^2Y^2]-(\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y])^2=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]=8*10=80$$
Hasta aquí todo bien, sin embargo, estoy teniendo problemas para encontrar la probabilidad condicional para $(|Y=1)$ .
Sé que la varianza condicional de una variable aleatoria se determina con
$$\mathsf{Var}(X|Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X|Y])^2|Y]$$
Sustituyendo los parámetros respectivos, entonces
$$\mathsf{Var}(XY|Y=1)=\mathbb{E}[(XY-\mathbb{E}[XY|Y=1])^2|Y=1]$$
¿Y ahora qué? Hay un montón de expectativas condicionales anidadas.
Lo bueno es que existe una fórmula para las expectativas condicionales:
$$µ_{X | Y =y} = \mathbb{E}(X | Y = y) = \sum xf_{X | Y} (x | y).$$
Lo triste es que no sé qué hacer con él. ¿Estoy complicando demasiado las cosas?
Lo que sí sé es que $\mathbb{E}(X | Y = y)$ es el valor medio de $X$ cuando $Y$ se fija en $y$ . Ya he averiguado el valor de $(A)$ que no sé si es útil para encontrar el condicional o no. También, $\mathbb{E}[XY]=0$ .
- A partir de aquí, ¿cómo calculo la varianza condicional?
- ¿Existe una forma más sencilla de evaluarlo?
Espero que alguien pueda ayudarme a resolver esto. Gracias.
