Varianza condicional de variables aleatorias discretas

Question

Dadas y son variables aleatorias discretas independientes con

$$\mathbb{E}[]=0, \mathbb{E}[]=1, \mathbb{E}[^2]=8, \mathbb{E}[^2]=10$$

y

$$Var()=Var()=8$$

Sea $=$ y $=+$.

Para encontrar $\mathbb{E}[AB]$, entonces

$$\mathbb{E}[AB]=\mathbb{E}[XY(X+Y)]=\mathbb{E}[X^2Y + XY^2]=\mathbb{E}[X^2Y] + \mathbb{E}[XY^2]=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y]+\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y^2]=8$$

Pero obtengo un valor diferente usando el siguiente enfoque

$$\mathbb{E}[AB]=\mathbb{E}[A]\mathbb{E}[B]=\mathbb{E}[XY]\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]*(\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y])=0$$

Por curiosidad, ¿por qué es este el caso?

Quiero creer que mi primer enfoque es correcto, por lo tanto $\mathbb{E}[AB]=8$.

De todos modos, procederé con mi pregunta real.

Para encontrar $(A)$, dado $()=[()^2]([])^2$, entonces

$$\mathsf{Var}(A)=\mathbb{E}[(XY)^2]-(\mathbb{E}[XY])^2=\mathbb{E}[X^2Y^2]-(\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y])^2=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]=8*10=80$$

Hasta aquí todo bien, sin embargo, tengo problemas para encontrar la probabilidad condicional para $(|Y=1)$.

Sé que la varianza condicional de una variable aleatoria se determina con

$$\mathsf{Var}(X|Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X|Y])^2|Y]$$

Al sustituir los parámetros respectivos, entonces

$$\mathsf{Var}(XY|Y=1)=\mathbb{E}[(XY-\mathbb{E}[XY|Y=1])^2|Y=1]$$

¿Y ahora qué? Hay una serie de expectativas condicionales anidadas.

Lo bueno es que hay una fórmula para las expectativas condicionales:

$$µ_{X | Y =y} = \mathbb{E}(X | Y = y) = \sum xf_{X | Y} (x | y).$$

Lo malo es que no sé qué hacer con ella. ¿Estoy complicando demasiado las cosas?

Lo que sé es que $\mathbb{E}(X | Y = y)$ es el valor medio de $X$, cuando $Y$ está fijo en $y$. Ya encontré el valor para $(A)$ que no sé si es útil para encontrar el condicional o no. Además, $\mathbb{E}[XY]=0$.

• Desde aquí en adelante, ¿cómo calculo la varianza condicional?
• ¿Y hay una manera más fácil y directa de evaluarla?

Espero que alguien pueda ayudarme a resolver esto. ¡Gracias!

Answer 1

Cuando $A$ y $B$ no son independientes, $E[AB]\overset{?}{=}E[A]E[B]$ no necesariamente se cumple.

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Has escrito incorrectamente la definición de varianza condicional.

La expresión $E[(Y - E[Y \mid X])^2 \mid X]$ es la definición de $\text{Var}(Y \mid X)$, no de $\text{Var}(X \mid Y)$.

Entonces, $\text{Var}(XY \mid Y=1) = E[(XY - E[XY \mid Y=1])^2 \mid Y=1]$. Si haces el cálculo, terminarás con $\text{Var}(X)$, lo cual tiene sentido: dado que $X$ y $Y$ son independientes, $XY$ simplemente se convierte en $X$ al condicionar en $Y=1$.

Answer 2

Esta ecuación $$\mathsf{Var}(A)=\mathbb{E}[XY]^2-(\mathbb{E}[XY])^2=\mathbb{E}[X^2Y^2]-(\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y])^2=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]=8*10=80$$ contiene errores tipográficos. La ecuación corregida, con correcciones en rojo, debe lucir así: $$\mathsf{Var}(A)=\mathbb{E}[\color{red}{(}XY\color{red}{)^2}]-(\mathbb{E}[XY])^2=\mathbb{E}[X^2Y^2]-(\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y])^2=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]=8*10=80.$$

La razón es similar a la razón por la cual $f(x)^2$ se interpreta como $(f(x))^2$, en lugar de $f(x^2)$.

La varianza condicional $$\mathsf{Var}(A \mid Y = 1)$$ es directa: Dado que $Y = 1$, entonces $A = XY = X$, por lo que $$\mathsf{Var}(A \mid Y = 1) = \mathsf{Var}(X \mid Y = 1) = \mathsf{Var}(X),$$ donde la última igualdad que establece que la varianza condicional de $X$ dado $Y = 1$ es igual a la varianza incondicional de $X$, se cumple porque $X$ e $Y$ son independientes.