Cómo obtener el $\alpha$ para la regla de Pareto

Question

Supongamos que tenemos la FCD para la Distribución de Pareto dada por:

$$P(X \leq x) = 1-\left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x \geq x_m$$

¿Cuál es la forma intuitiva de encontrar el alfa para el que se cumple la regla 80/20?

Answer 1

El resultado básico es: $\alpha=\log_4 5=1.160964...$

El cálculo procede del Curva de Lorenz En concreto, está preguntando por el $\alpha$ para lo cual $L(0.8)=0.2$ .

$L$ se define como

$$L(F)=\frac{\int_{x_\mathrm{m}}^{x(F)}xf(x)\,dx}{\int_{x_\mathrm{m}}^\infty xf(x)\,dx} =\frac{\int_0^F x(F')\,dF'}{\int_0^1 x(F')\,dF'}$$

donde $x(F)$ es la inversa de la fdc. El denominador es la media de la distribución.

Para la distribución de Pareto, la curva de Lorenz es $L(F) = 1-(1-F)^{1-\frac{1}{\alpha}}$ , a partir de la cual obtenemos la ecuación que tenemos que resolver:

$$0.2 = 1-(1-0.8)^{1-\frac{1}{\alpha}}.\,$$

Por lo tanto

$$1-\frac{1}{\alpha} = \log(0.8)/\log(0.2)$$

$$\alpha=\frac{1}{1-\log(0.8)/\log(0.2)}=1.160964\ldots$$

Esto se menciona en la página de Wikipedia del Principio de Pareto y en la página Distribución de Pareto

Para más información aquí .