Corte de rama para $\sqrt{1-z^2}$ - ¿Puedo utilizar el corte de rama de $\sqrt{z}$?

Question

Estaba tratando de aclarar algunas preguntas que tenía sobre integrales elípticas usando

http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/ellcurves.pdf

Allí definen el mapa $$\phi\colon w\mapsto \int_0^w\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{1-z^2}}$$ en $\mathbb{C}\setminus[-1,1]$ para que $\phi$ esté bien definida hasta por períodos de la integral. La elección del intervalo $[-1,1]$ se hace para que $\sqrt{1-z^2}$ admita una rama univalente.

Ahora, sé que la rama principal de la raíz cuadrada $\sqrt{z}$ es discontinua en la semirrecta $(-\infty,0)$, por lo que para obtener un mapa holomorfo nos restringimos a $\mathbb{C}\setminus (-\infty,0]$. Sustituyendo $1-z^2$ por $z$ obtenemos que los cortes de rama apropiados para la anterior asignación $\sqrt{1-z^2}$ serían $(-\infty,-1]$ y $[1,\infty)$, lo cual es algo opuesto al intervalo sugerido $[-1,1].

De eso concluyo que no eligieron la rama principal, de lo contrario por ejemplo para $z=2$ el mapa sería discontinuo.

Mi pregunta es: ¿Son posibles ambas elecciones? Entonces debe haber alguna manera de elegir otra rama de $\sqrt{1-z^2}$. ¿Hay una buena manera de ver cómo elegir cortes de rama "elegantes" y las ramas holomorfas correspondientes?

Un pensamiento propio: Debería ser posible en su lugar integrar en la esfera de Riemann, usando $\infty$ y no $0$ como punto de partida. Entonces los dos intervalos intercambiarían roles. Pero no veo cómo formalizar esto.

Answer 1

Cuando se toma una rama de $\sqrt z$, puedes elegir cualquier rayo que emane del origen. En este caso, para $\sqrt{1-z}$ y $\sqrt{1+z}$, necesitamos elegir dos rayos que emanan de $-1$ y $1$, y el autor elige que sean $[-1, \infty)$ y $[1, \infty)$.

Esto parece descartar todo el intervalo $[-1, \infty)$ de ser parte del dominio. Pero se puede demostrar que los "saltos" en los cortes de rama de las funciones raíz cuadrada se cancelan en el intervalo $[1, \infty)$, por lo que obtenemos una función analítica en $\mathbb{C}-[-1,1]$.

No es demasiado difícil, y te invito a intentarlo como ejercicio, obtener una continuación analítica a través de $[1, \infty)$.

Así es como lo pienso. La respuesta de Andrew en los comentarios es fantástica y probablemente mejor. Para una teoría completa sobre cómo hacer tales cortes de rama, necesitas aprender sobre las superficies de Riemann. Si recuerdo correctamente, el libro de Forster sobre superficies de Riemann tiene un tratamiento de tales funciones, pero requiere ciertos conocimientos previos para acceder.

Answer 2

Si elegimos una rama de $\sqrt{z}$ con corte de rama a lo largo del eje positivo $[0,\infty)$, entonces no necesitaremos integrar en la esfera de Riemann, ya que $1-z^2\ge 0$ si y solo si $1\ge z^2$, lo cual ocurre si y solo si $z\in [-1,1]$.

Esto es equivalente a la respuesta de Potato, que es una bonita interpretación geométrica del corte de rama.