Para vectores complejos $z_1$ y $z_2$ ¿Cómo demuestro que si $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ entonces los vectores $z_1$ y $z_2$ son paralelas o antiparalelas.

Question

En mi clase de análisis complejo, repasamos una prueba geométrica de esto con la desigualdad del triángulo, pero estoy intentando encontrar una prueba más algebraica. También estoy tratando de no usar Arg porque no hemos ido sobre él en mi clase todavía y todo lo que realmente sé acerca de un argumento es que si $z_1$ , $z_2$ y 0 son colineales entonces todos tendrían el mismo ángulo respecto al eje real.

No he llegado muy lejos. Puedo convertir los valores absolutos (basándome en la definición de módulo que, para un número complejo $z=x+iy$ , $|z|=sqrt{(x^2+y^2)}$ ). A continuación, puedo elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación dos veces y luego simplificar para obtener algo que parece muy fácil de trabajar, pero no estoy seguro de lo que los resultados de que me podría decir acerca de cómo los tres puntos son colineales.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Diga $z_1 = a+ib$ y $z_2 = c+id$ que corresponden a los vectores $(a,b)$ y $(c,d)$ en $\mathbb{R}^2$ . Sus normas al cuadrado son $\lvert z_1 \rvert^2 = a^2+b^2$ y $\lvert z_2 \rvert^2=c^2+d^2$ . Ahora $$z_1+z_2 = a+c+i(b+d),$$ por lo que su norma al cuadrado es $$\lvert z_1+z_2\rvert^2 = (a+c)^2+(b+d)^2 = \lvert z_1\rvert^2 + \lvert z_2 \rvert^2+2(ac+bd).$$ Además $$ \lvert z_1z_2\rvert = \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}. $$ Ahora, su ecuación es equivalente a $$\lvert z_1+z_2\rvert^2 = \left(\lvert z_1\rvert+\lvert z_2\rvert\right)^2=\lvert z_1\rvert^2+\lvert z_2\rvert^2+2\lvert z_1z_2\rvert$$ lo que implica $$ac+bd=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)},$$ a saber $(ad-bc)^2=0$ . Así que $ad-bc=0$ es decir $z_1$ es paralelo a $z_2$ . Puede verlo de la siguiente manera: si $\langle \cdot, \cdot \rangle$ denota el producto escalar estándar en $\mathbb{R}^2$ entonces $ad-bc=0$ es lo mismo que $\langle (a,b), (d,-c)\rangle=0$ . Pero $\langle (d,-c),(c,d)\rangle = 0$ lo que significa que $z_2$ es ortogonal a $(d,-c)$ que a su vez es ortogonal a $z_1$ . Así que finalmente $z_1$ y $z_2$ son paralelas.

Answer 2

Si $z_1$ es un número real positivo, ¿qué aspecto tiene? $$|z_1+(x_2+y_2i)|=|z_1|+|x_2+y_2i|=z_1+\sqrt{x_2^2+y_2^2}$$ $$|z_1+(x_2+y_2i)| = \sqrt{(z_1+x_2)^2+y_2^2}$$ Iguala los dos y ponlos al cuadrado: $$z_1^2+x_2^2+y_2^2+2z_1\sqrt{x_2^2+y_2^2} = \left(z_1+\sqrt{x_2^2+y_2^2}\right)^2 = (z_1+x_2)^2+y_2^2 = z_1^2+x_2^2+y_2^2 + 2z_1x_2$$ $$2z_1\sqrt{x_2^2+y_2^2}=2z_1x_2$$ Entonces, $x_2=\sqrt{x_2^2+y_2^2}\ge |x_2|$ . La igualdad sólo es posible si $y_2=0$ e igualdad de $x_2$ y $|x_2|$ sólo es posible si $x_2\ge 0$ . Así que eso es todo - para positivo real $z_1$ , $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ sólo si $z_2$ es un número real no negativo. O uno de ellos es cero, o son paralelos.

Por supuesto, nos gustaría algo que funcionara para todos. $z$ . Para ello, consideremos lo que ocurre si multiplicamos ambos $z_1$ y $z_2$ por el mismo vector unitario $w$ : $|z_1w|=|z_1|\cdot |w|=z_1$ y $|z_1w+z_2w|=|(z_1+z_2)w|=|z_1+z_2|\cdot |w|=|z_1+z_2|$ . Ninguno de los valores absolutos cambia, por lo que podemos multiplicar una solución por $w$ para obtener otra solución. En particular, si $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ (y son distintos de cero), entonces tomando $w=\frac{|z_1|}{z_1}$ obtenemos una nueva solución $z_1',z_2'$ con $z_1'=|z_1|$ un número real positivo. Según nuestro trabajo anterior, esto hace que $z_2'$ también real positivo. Deshaz la rotación: $z_1=\frac1w\cdot z_1'$ y $z_2=\frac1w\cdot z_2'$ son ambos múltiplos reales positivos del mismo vector unitario $\frac1w$ así que son paralelas. Victoria - igualdad en la desigualdad del triángulo significa que son paralelas.

Vale, también está el caso en el que uno o los dos vectores son cero. Digamos que el cero es paralelo a todo y ya está.

¿Qué pasa con el "antiparalelo" de tu afirmación? Eso tiene que ver con igualdades como $|z_1+z_2|=|z_1|-|z_2|$ o $|z_1+z_2|=|z_2|-|z_1|$ .

Answer 3

Supongamos que

$$z_1=x_1+iy_1$$ $$z_2=x_2+iy_2$$

Informática se obtiene

$$|z_1+z_2|^2=(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2+2(x_1x_2+y_1y_2)$$

Y

$$(|z_1|+|z_2|)^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2+2|z_1z_2|$$

La identidad que investigamos equivale, por tanto, a

$$|z_1z_2|=(x_1x_2+y_1y_2)$$

Equivalentemente

$$|z_1z_2|^2=(x_1x_2+y_1y_2)^2$$

Ahora $z_1z_2=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)$ lo que significa que

$$|z_1z_2|^2=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_2y_1)^2$$

Tras ampliar e identificar, se obtiene

$$(x_1y_2)^2+(x_2y_1)^2-2x_1x_2y_1y_2=(x_1y_2-x_2y_1)^2=0$$

Y esto nos dice que $x_1y_2-x_2y_1=0$ que equivale a $z_1$ y $z_2$ son colineales

Answer 4

Responderé a la pregunta del encabezamiento (sin incluir $0$ ). Sea $z_k=x_k+iy_k$ Eleva al cuadrado ambos lados y elimina los términos comunes para obtener: $(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)+(x_1-iy_1)(x_2+iy_2)=(2(x_1x_2+y_1y_2))=2\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}$ . Ahora eleva al cuadrado ambos lados y elimina los términos comunes para obtener $2x_1x_2y_1y_2=x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2$ Supongamos que ninguno de los términos $=0$ dividir por el producto y obtener $2=\frac{x_1y_2}{x_2y_1}+\frac{x_2y_1}{x_1y_2}$ Obsérvese que los dos términos de la derecha son recíprocos, su que con $u=$ una relación, tenemos una cuadrática $u^2-2u+1=0$ de modo que la relación $=1$ obligando a los vectores a ser múltiplos escalares entre sí.

Answer 5

Sea $z_1=r_1e^{i\theta_1}=r_1\cos\theta_1+ir_1\sin\theta_1, z_2=r_2e^{i\theta_2}=r_2\cos\theta_2+ir_2\sin\theta_2$ .

Entonces $\mid z_1+z_2\mid=\mid (r_1\cos\theta_1 +r_2\cos\theta_2)+i(r_1\sin\theta_1 +r_2\sin\theta_2)\mid=\sqrt{r_1^2\cos^2\theta_1 +2r_1r_2\cos\theta_1\cos\theta_2+r_2^2\cos^2\theta_2+r_1^2\sin^2\theta_1 +2r_1r_2\sin\theta_1 \sin\theta_2 +r_2^2\sin^2\theta_2}=\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1r_2(\cos\theta_1, \sin\theta_1) \cdot (\cos\theta_2,\sin\theta_2) }=r_1+r_2\implies (\cos\theta_1, \sin\theta_1) \cdot (\cos\theta_2, \sin\theta_2)=1\implies \theta_1 =\pm\theta_2 $ .

Ahora sé que dijiste que no querías usar "arg", pero todo lo que usé fueron coordenadas polares. Y la declaración es realmente acerca de los argumentos de los dos números.