Expectativa finita para una variable aleatoria no negativa

Question

Me dijeron lo siguiente

Para una variable aleatoria no negativa $X$ tenemos $$\mathbb{E}(X) < \infty \ \ \ \text{if and only if} \ \ \ \sum_{n=0}^\infty \mathbb{P}(X \geq n) < \infty$$

La única parte "si" la tengo clara, ya que $$\mathbb{E}(X) = \int_0^\infty \mathbb{P}(X \geq t) dt \geq \sum_{n=0}^\infty \mathbb{P}(X \geq n)$$

Sin embargo, no tengo ni idea de cómo acercarme al otro lado. Cualquier sugerencia será bienvenida, ¡gracias!

Answer 1

Integración de $P(X \ge \lceil t \rceil) \le P(X \ge t) \le P(X \ge \lfloor t \rfloor)$ produce $$\sum_{n = 1}^\infty P(X \ge n) \le \int_0^\infty P(X \ge t) \, dt \le \sum_{n = 0}^\infty P(X \ge n).$$