De media, ¿cuántos de estos 10 años tendrán precipitaciones récord?

Question

Sea $R_k$ para $R_1, R_2, R_3... R_{10}$ son los centímetros de lluvia acumulados en el año $k$ en Springfield. La cantidad de precipitaciones por año es independiente de las precipitaciones de otros años. Por término medio, ¿cuántos de estos 10 años tendrán precipitaciones récord? $\forall k \in [1, 10], R_k \sim Normal(\mu, \sigma)$ tal que $\mu$ y $\sigma$ hacen muy improbable que los valores de las precipitaciones sean negativos.

Dado que cada año es independiente, ¿la respuesta sería $10(\frac{1}{10}) = 1$ ?

Answer 1

Suponemos que el mantenimiento de registros se limita al $10$ años. En particular, el Año $1$ precipitaciones récord de forma automática. También suponemos que un empate entre dos años tiene probabilidad $0$ . Esto es consecuencia de modelizar las precipitaciones como una variable aleatoria con continuo distribución.

Definir las variables aleatorias de Bernoulli $X_i$ por $X_1=1$ y para $i\gt 1$ , $X_i=1$ si año $i$ tiene precipitaciones superiores a años $1$ a $i-1$ y $0$ de lo contrario. El número de registros $Y$ es la suma de los $X_i$ .

Tenemos $\Pr(X_i=1)=\dfrac{1}{i}$ . Esto se debe a que durante años $1$ a $i$ En cuanto a la pluviosidad, es igual de probable que las mayores precipitaciones se produzcan un año que otro. Así que $E(X_i)=\dfrac{1}{i}$ y por la linealidad de la expectativa $$E(Y)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{10}.$$ Tenga en cuenta que el $X_i$ son no independiente, pero eso no importa para la expectativa.