La intersección cerrada de conjuntos está contenida en la intersección cerrada de conjuntos

Question

$\overline{A{\cap}B}$ $\subseteq$ $\overline{A}\cap\overline{B}$

Lo que tengo hasta ahora es dejar x $\in$ $\overline{A{\cap}B}$ entonces x $\in$ A $\cap$ B y x $\in(A$$\cap$$B)'$ . Pero no estoy seguro de a dónde ir desde allí ...

Answer 1

Sea $x\in \overline{A\cap B}$ . Entonces cada vecindad de $x$ conoce $A\cap B$ por lo que toda vecindad de $x$ conoce $A$ . Vemos que $x\in \overline{A}$ por lo tanto, $\overline{A\cap B} \subseteq \overline{A}$ . Un argumento simétrico demuestra $\overline{A\cap B} \subseteq \overline{B}$

Answer 2

Sea $x\in\overline{A\cap B}$ . Para cada $\epsilon>0$ hay $y\in B(x,\epsilon)\cap A\cap B$ . Por lo tanto $y\in B(x,\epsilon)\cap A$ y $y\in B(x,\epsilon)\cap B$ . Así que $x\in\overline A\cap\overline B$ .

Answer 3

Sea $x$ estar en $\overline{A \cap B}$ . Por tanto, existe una secuencia $\{x_k\} \subset A \cap B$ tal que $x_k \rightarrow x$ . Además, $\{x_k\} \subset A$ resultados que $x \in \overline{A}$ y $\{x_k\} \subset B$ resultados que $x \in \overline{B}$ . Por lo tanto, $x \in \overline{A} \cap \overline{B}$ .

Answer 4

Utiliza la propiedad de que el cierre de un conjunto es la unión de todos sus superconjuntos cerrados: $A\cap B\subset A \subset \bar A \implies \overline{A\cap B}\subset\bar A$ análogamente $\overline{A\cap B}\subset\bar B$ Así que $\overline{A\cap B}\subset\bar A \cap \bar B$