Deducir e intuir la ecuación del índice de refracción $n = \sqrt{\mu_r\epsilon_r}$

Question

Me he encontrado con la ecuación del título. Relaciona el índice de refracción de una sustancia a la raíz cuadrada del producto de la permitividad relativa y la permeabilidad relativa a cualquier longitud de onda a la que se aplique el n. Parece una ecuación bastante razonable, ya que ambas variables están estrechamente relacionadas con el electromagnetismo, pero me gustaría comprender mejor la ecuación.

¿Puede alguien aportar una prueba o una explicación lógica e intuitiva de esta ecuación?

Answer 1

Ésta es la lógica (bueno, una interpretación particular):

1. Recordemos que $n$ se define como la relación entre la velocidad de la luz $c$ en el vacío a la velocidad de la luz $v$ en un medio determinado; \begin{align} n = \frac{c}{v} \end{align}
2. Nótese que en un medio lineal, las ecuaciones de Maxwell son exactamente las mismas que en el vacío, excepto que $\mu_0$ y $\epsilon_0$ se sustituyen por $\mu$ y $\epsilon$ .
3. De 2 se deduce que cada componente de los campos eléctrico y magnético satisface la ecuación de onda tridimensional \begin{align} \nabla^2\phi = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} \end{align} con \begin{align} v = \frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}} \end{align}
4. Combina los pasos 1 y 3, y recuerda que la velocidad de la luz en el vacío es \begin{align} c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}} \end{align} para obtener \begin{align} n = \sqrt{\frac{\epsilon\mu}{\epsilon_0\mu_0}} = \sqrt{\epsilon_r\mu_r} \end{align}