Cómo encontrar la suma de la secuencia $\frac{1}{1+1^2+1^4} +\frac{2}{1+2^2+2^4} +\frac{3}{1+3^2+3^4}+.....$

Question

Problema:

Cómo encontrar la suma de la secuencia $\frac{1}{1+1^2+1^4} +\frac{2}{1+2^2+2^4} +\frac{3}{1+3^2+3^4}+.....$

Soy incapaz de encontrar la manera de proceder en este problema... Este es un problema de progresión aritmética... Por favor sugerir cómo proceder... Gracias...

Answer 1

SUGERENCIA:

$1+r^2+r^4=(1+r^2)^2-(r)^2=(1+r+r^2)(1-r+r^2)$

y $(1+r+r^2)-(1-r+r^2)=2r,$

$$\frac r{1+r^2+r^4}$$

$$=\frac12\cdot\frac{2r}{(1+r+r^2)(1-r+r^2)}$$

$$=\frac12\cdot\frac{(1+r+r^2)-(1-r+r^2)}{(1+r+r^2)(1-r+r^2)}$$

$$=\frac12\left(\frac1{1-r+r^2}-\frac1{1+r+r^2}\right)$$

Poner los valores de $r=1,2,\cdots.. n-1,n$ encontrar la suma parcial y reconocer la Serie suma telescópica que es evidente como $1-(r+1)+(r+1)^2=1+r+r^2$

Luego ajuste $n\to\infty$