Incertidumbre de la estimación Box-Cox

Question

Considere el modelo $$ Y_i^{(\lambda)} = \alpha+\beta x_i + \varepsilon_i,\qquad \varepsilon_i,\ (i=1,\ldots,n) \sim \mathrm{i.i.d.}\ N(0,\sigma^2) $$ donde $$ \begin{align} y_i^{(\lambda)} & = \begin{cases} \dfrac{y_i^\lambda-1}{\lambda(\operatorname{GM}(y))^{\lambda -1}} , &\text{if } \lambda \neq 0 \\[12pt] \operatorname{GM}(y)\log{y_i} , &\text{if } \lambda = 0 \end{cases} \\[12pt] \text{and } & \operatorname{GM}(y) = (y_1\cdots y_n)^{1/n}\text{ is the geometric mean.} \end{align} $$

Como mi estimación de $\lambda$ Utilizo el valor que minimiza la suma cuadrada de los residuos cuando $\alpha$ y $\beta$ también se han estimado por mínimos cuadrados.

Para encontrar una región de confianza para $\alpha$ y $\beta$ ¿cómo tener en cuenta la incertidumbre en la estimación del parámetro Box-Cox? $\lambda$ ?

Answer 1

Podrías hacer un bootstrap de todo el proceso y utilizar esos resultados para crear tu región de confianza para alfa y beta.

También se puede utilizar un enfoque bayesiano y colocar valores a priori en alfa, beta y lambda (y sigma) y, a continuación, elaborar una región de confianza basada en el valor a posteriori.

Podrías utilizar simulaciones para ver con qué frecuencia la región de confianza regular (sin ajustar por la incertidumbre en lambda) incluye los valores verdaderos y hacer ajustes basados en eso.

En cualquier caso, el propósito de las transformaciones Box-Cox no es encontrar un "mejor" valor de lambda y utilizarlo a ciegas. El mejor enfoque consiste en utilizar la información sobre lambda (incluido el intervalo de confianza de lambda) para sugerir posibles valores y combinarla con su conocimiento (y el de otros expertos) de la ciencia que produjo los datos para elegir un valor significativo de lambda. Por ejemplo, si se estima que el "mejor" valor de lambda es 0,4733268 y el IC del 95% de lambda incluye el valor 0,5, y existe una razón científicamente significativa por la que una transformación de raíz cuadrada tendría sentido, entonces debería utilizar la transformación de raíz cuadrada en lugar de elevar los datos a un valor como 0,4733268. Las herramientas como la transformación de Box-Cox se utilizan junto con los conocimientos científicos (y el sentido común), no para sustituirlos.