El haz tangente a una variedad de dimensión infinita

Question

Supongamos que $A,B$ son suaves ( $\mathrm C^\infty$ ), y denotamos por $\hom(A,B)$ el conjunto de $\mathrm C^\infty$ -mapas $A \to B$ . Es un conjunto perfectamente bien definido, pero a menudo uno quiere más. Por ejemplo, a menudo me gustaría hablar de variaciones (pequeñas, o quizá infinitesimales) de un mapa suave $A \to B$ y quiero hablar regularmente de funciones suaves en el espacio de mapas. Es decir, hay muchas buenas razones para querer tener algún tipo de "colector de dimensión infinita" que llamaré $\newcommand\Maps{\underline{\operatorname{Maps}}} \Maps(A,B)$ cuyo conjunto de puntos es $\hom(A,B)$ .

Una forma estándar de definir $\Maps(A,B)$ es elegir alguna regularidad ( $\mathrm C^\infty$ termina no siendo una buena elección, ya que la construcción no producirá algo con un teorema de función inversa) e intentar primero topologizar y luego asignar una "estructura suave" al conjunto de funciones $A\to B$ con la regularidad prescrita. Esto funciona bien para ciertas aplicaciones analíticas y permite construcciones explícitas. Pero tiene el inconveniente de hacer que todos los hechos exijan algo de análisis real, y lo único que se me da peor que el análisis real es el análisis complejo.

Un enfoque diferente es decir que lo que "posiblemente-infinito-dimensional manifold" significa es un presheaf en la categoría de los manifolds, o tal vez restringirlo a alguna clase de presheaves (por ejemplo, sheaves para su topología Grothendieck favorita). Entonces podría definir $\Maps(A,B)$ para ser la gavilla

$$ \Maps(A,B) = \hom( - \times A, B) $$

Esta definición responde inmediatamente a algunas preguntas. Por ejemplo, existe una gavilla

$$ \mathbb R = \hom (-, \mathbb R) $$

y un "suave $\mathbb R$ -sobre $\Maps(A,B)$ "es precisamente una transformación natural de las láminas $\Maps(A,B) \to \mathbb R$ . Obsérvese que el conjunto de suaves $\mathbb R$ -es en realidad una $\mathbb R$ -porque existe un producto de láminas

$$ \Maps(A,B)^{\times 2} = \hom(- \times A,B)^{\times 2} $$

(el lado derecho es producto de conjuntos), y también los mapas de suma y multiplicación $\mathbb R^{\times 2} \to \mathbb R$ son suaves. Así obtenemos un álgebra $\mathrm C^\infty(\Maps(A,B))$ (que incluso es en sí misma una variedad lisa de dimensión infinita en el mismo sentido).

OK, así que he propuesto alguna definición de "el colector liso $\Maps(A,B)$ ". Tengo "familias de mapas suaves", porque puedo mapear en $\Maps(A,B)$ de, digamos, curvas o espacios. Lo que realmente quiero, además de variaciones infinitesimales, son flujos. Así que me gustaría un "haz tangente $\mathrm T (\Maps(A,B))$ ".

He aquí al menos tres definiciones que se me ocurren:

1. Existe una gavilla sobre variedades llamada " $\operatorname{spec} \mathbb R[\epsilon]/(\epsilon^2)$ ". En realidad, es más fácil definirla como una cosheaf; ya sea por definición o por teorema, satisface que, para cualquier variedad de dimensión finita $M$ , $$ \Maps( \operatorname{spec} \mathbb R[\epsilon]/(\epsilon^2) \to M ) = \text{the total space of } \mathrm T M $$ La estructura del haz en $\mathrm T M$ corresponde a la inclusión única $\lbrace \text{pt.}\rbrace \to \operatorname{spec} \mathbb R[\epsilon]/(\epsilon^2)$ la estructura del haz vectorial a partir de los endomorfismos $\Maps(\operatorname{spec} \mathbb R[\epsilon]/(\epsilon^2) \to \operatorname{spec} \mathbb R[\epsilon]/(\epsilon^2)) = \mathbb R$ . Así se podría definir: $$\mathrm T (\Maps(A,B)) = \Maps( \operatorname{spec} \mathbb R[\epsilon]/(\epsilon^2), \Maps(A,B)).$$

2. Se podría decir razonablemente que un "haz vectorial sobre $\Maps(A,B)$ "debería estar determinado por (de hecho, el mismo que) su haz vectorial a lo largo de cualquier mapa $S \to \Maps(A,B)$ . Dado $f: S \to \Maps(A,B)$ es decir $f\in \hom(S\times A, B)$ se puede definir un haz vectorial de dimensión infinita $V \to S$ diciendo que para cualquier conjunto abierto $U \subseteq S$ , $$ \Gamma_U(V) = \Gamma_{U \times A}(f^\ast \mathrm T B) $$ Esta es la forma en que suelo pensar en el haz tangente a $\Maps(A,B)$ . Más concretamente, suelo definir $\mathrm T(\Maps(A,B))$ diciendo que sobre cada punto $f\in \hom(A,B)$ la fibra es $\mathrm T_f\Maps(A,B) = \Gamma_A(f^\ast \mathrm T B)$ y esperando que mis lectores no me pidan que explique en qué sentido estas fibras se pegan formando un haz liso.

3. Más arriba he definido un álgebra $\mathrm C^\infty( \Maps(A,B))$ . A vector tangente podría definirse como una "derivación puntual": un mapa $v : \mathrm C^\infty(\Maps(A,B)) \to \mathbb R$ que satisfaga que $v(\alpha\beta) = v(\alpha) \, \beta(f) + \alpha(f)\, v(\beta)$ para algunos $f\in \operatorname{spec} \mathrm C^\infty( \Maps(A,B))$ (o tal vez sólo para aquellos $f \in \hom(A,B)$ ). De forma más general, se podría dar a esto una estructura suave explicando la noción de "derivación" interna al mundo de las gavillas. Creo que de forma equivalente para cada $f : S \to \Maps(A,B)$ existe un mapa de restricción $f^\ast: \mathrm C^\infty(\Maps(A,B)) \to \mathrm C^\infty(S)$ y se puede considerar el espacio de derivaciones sobre este mapa. Sería el espacio de secciones de $f^\ast \mathrm T (\Maps(A,B))$ y estos datos deben unirse en una especie de "paquete vectorial".

Mi pregunta es:

¿Son las definiciones 1,2,3 naturalmente equivalentes? En caso negativo, ¿cuál es la mejor y por qué? ¿O debería abandonar las tres en favor de alguna otra definición?

El motivo de mi pregunta, por si influye en tu respuesta, es que me gustaría entender en qué sentido el espacio de mapeo entre dos Q-manifolds es un Q-manifold infinito-dimensional, porque una forma de teoría cuántica de campos perturbativa puede entenderse como el estudio de deformaciones de tales Q-manifolds infinitos-dimensionales (en algún espacio de "Q-manifolds no conmutativos"). (Un buen lugar para leer definiciones de palabras como "Q-manifold" es Tesis de Rajan Mehta . Un buen lugar para leer sobre esta versión de la teoría cuántica de campos es un breve artículo de Dmitry Roytenberg .) Creo que sé cómo responder a esta pregunta del "Q-manifold" en cualquiera de los enfoques 1,2,3, aunque no he pensado en los detalles, y no sé cómo responderla en enfoques más analíticos. Pero también me interesan las preguntas relacionadas de "P-manifold", que son más difíciles, así que me gustaría saber exactamente cómo de arrogante puedo ser con mis variedades de dimensión infinita.

Answer 1

No sé si es una tontería abstracta, pero sí sé que en el mundo concreto de las variedades de dimensión infinita hay nociones diferentes y no equivalentes de "haz tangente". En particular, si se define el cinemática haz tangente como a través de clases de equivalencia de curvas y el operativo haz tangente mediante derivaciones de funciones, entonces el operativo contiene al cinemático, pero los dos no son, en general, isomorfos. La diferencia depende de la estructura lineal y, por tanto, depende mucho de la elección del espacio modelo.

Para más detalles, lea la sección correspondiente del libro de Kriegl y Michor.

Answer 2

Esta no es una respuesta completa, ya que sólo discutiré el sinsentido abstracto de las ideas 1 y 2.

En cuanto a tu idea 1, el Grothendieck $\underline{\operatorname{Hom}}$ presheaf que se llama $\underline{\operatorname{Maps}}$ admite una adjunción tautológica, por lo que tenemos tres formas equivalentes de definir el espacio tangente de la prehoja $\underline{\operatorname{Maps}}(X,Y)$ :

1. A tu manera: $\underline{\operatorname{Maps}}(\operatorname{Spec} \mathbb{R}[\epsilon]/(\epsilon^2), \underline{\operatorname{Maps}}(X, Y))$
2. La forma habitual de "restricción de escalares": $\underline{\operatorname{Maps}}(X \times \operatorname{Spec} \mathbb{R}[\epsilon]/(\epsilon^2), Y)$ .
3. $\underline{\operatorname{Maps}}(X, TY)$ .

La tercera definición deja bastante claro que tu construcción del punto 2 es equivalente a la construcción del punto 1.

Tengo dificultades para extraer una definición precisa del debate del punto 3, así que no sé cómo hacer una comparación.

Answer 3

Tal vez no entienda bien su pregunta, pero poner una estructura de colector de Banach en espacios cartográficos entre colectores de dimensión finita no es tan difícil. Empiece por elegir $f \in C^\infty$ . Utilizando que el mapa exponencial es un difeomorfismo local, podemos encontrar una vecindad de la sección cero en $C^0 \Gamma f^* (TB)$ (es decir, tramos continuos del pullback del haz tangente), denominados $V_0^f$ tal que el mapa $\phi_0^f \colon V_0^f \to C^0 (A,B)$ dado por $\phi_0^f (\mathcal{S})(a):= \mathrm{exp}_{f(a)}(\pi^* (f) \mathcal{S}(a))$ es localmente invertible. A continuación, elija estos mapas inversos para ser sus cartas alrededor de $f$ . Restringiendo adecuadamente los dominios de estos gráficos, se obtiene una estructura de colector de Banach en cualquier espacio $C^r (A,B)$ y, de hecho, una estructura de colector de Hilbert en $H^s (A,B)$ que es bastante agradable.

Answer 4

Has dicho que a menudo te gustaría hablar de variaciones (pequeñas, o tal vez infinitesimales) de un mapa liso. Existe una topología bien conocida (al menos en algunos círculos) sobre el espacio de mapas suaves.

Se llama Whitney $C^{\infty}$ -topología.

Primero se define el Whitney $C^k$ -topología mediante la proyección natural $\pi : C^{\infty}(A,B) \twoheadrightarrow J^k(A,B),$ donde el espacio base es el espacio k-jet; que se identifica con $\mathbb{R}^p$ para algunos $p$ en función de $\dim(A)$ y $\dim(B),$ y, por supuesto, en $k.$ Como base para la $C^k$ -topología en $C^{\infty}(A,B)$ tomamos las preimágenes de los conjuntos abiertos en $J^k(A,B)$ bajo la topología métrica inducida a partir de $\mathbb{R}^p.$

Informalmente, la métrica en el espacio del chorro mide la diferencia entre las derivadas. Por ejemplo $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y, para algunos $x \in \mathbb{R},$ considere $j_x^kf \in J^k(\mathbb{R},\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{k+2}.$ Tenemos

$j_x^kf \mapsto (x,f(x),f'(x),\ldots,f^{(k)}(x)) \in \mathbb{R}^{k+2}.$

Si $W^k$ denota el conjunto de conjuntos abiertos de $C^{\infty}(A,B)$ bajo el $C^k$ -topología, entonces la Whitney $C^{\infty}$ -topología en $C^{\infty}(A,B)$ se define como la topología cuya base es $W$ donde

$W := \bigcup_{k=0}^{\infty} W^k.$

El Whitney $C^{\infty}$ -topología hace $C^{\infty}(A,B)$ en un espacio de Baire.

Véanse las páginas 42 - 50 de Golubitsky & Guillemin, "Stable Mappings and their Singularities", (1974).