Quiero calcular el valor de $$\int_{1}^{\infty}\frac{e^{\sin x}\cos x}{x}\,dx$$
He podido demostrar mediante la prueba de Dirichlet que sí converge, pero ¿cómo puedo calcular su valor?
Respuestas
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Es bastante obvio que no puede haber un resultado elemental para la integral dada, ni uno que utilice funciones especiales "suaves" como las funciones de Bessel y de error.
Así que lo integraremos numéricamente. El problema, sin embargo, es que el integrando es oscilatorio como $x\to\infty$ y sólo decae como $\frac1x$ por lo que es necesario el siguiente planteamiento:
- Ruptura $[1,\infty)$ en los ceros del integrando: $\frac\pi2,\frac{3\pi}2,\frac{5\pi}2\dots$
- Calcular la integral sobre cada segmento, utilizando técnicas de aceleración de series para "predecir" los valores futuros y, a continuación, sumarlo todo.
En mpmath esto se puede lograr como
quadosc(lambda x: exp(sin(x))*cos(x)/x, [1, inf], period=2*pi) y esto devuelve el preciso resultado $$-0.379597645637239886\dots$$
G Cab
Puntos
51
Tenemos que, integrando por partes $$ \eqalign{ & I = \int_1^\infty {e^{\,\sin x} {{\cos x} \over x}dx} = \int_1^\infty {{1 \over x}d\left( {e^{\,\sin x} } \right)} = \cr & = \left. {{{e^{\,\sin x} } \over x}} \right|_1^\infty - \int_1^\infty {e^{\,\sin x} d\left( {{1 \over x}} \right)} = - e^{\,\sin 1} + \int_1^\infty {{{e^{\,\sin x} } \over {x^{\,2} }}dx} = \cr & = - e^{\,\sin 1} + J \cr} $$ con la ventaja de haber sustituido $1/x$ con $1/x^2$ .
Entonces siendo $\exp(\sin x)$ periódico $$ \eqalign{ & J = \int_1^\infty {{{e^{\,\sin x} } \over {x^{\,2} }}dx} = \int_1^{1 + 2\pi } {{{e^{\,\sin x} } \over {x^{\,2} }}dx} + \int_{1 + 2\pi }^{1 + 4\pi } {{{e^{\,\sin x} } \over {x^{\,2} }}dx} + \cdots = \cr & = \sum\limits_{0\, \le \,k} {\int_{1 + k2\pi }^{1 + \left( {k + 1} \right)2\pi } {{{e^{\,\sin x} } \over {x^{\,2} }}dx} } = \sum\limits_{0\, \le \,k} {\int_0^{2\pi } {{{e^{\,\sin \left( {x + 1} \right)} } \over {\left( {x + 1 + k2\pi } \right)^{\,2} }}dx} } = \cr & = {1 \over {4\pi ^{\,2} }}\int_0^{2\pi } {e^{\,\sin \left( {x + 1} \right)} \left( {\sum\limits_{0\, \le \,k} {{1 \over {\left( {{{\left( {x + 1} \right)} \over {2\pi }} + k} \right)^{\,2} }}} } \right)dx} = \cr & = {1 \over {4\pi ^{\,2} }}\int_0^{2\pi } {e^{\,\sin \left( {x + 1} \right)} \zeta \left( {2,{{x + 1} \over {2\pi }}} \right)dx} = \cr & = {1 \over {4\pi ^{\,2} }}\int_0^{2\pi } {e^{\,\sin \left( {x + 1} \right)} \psi ^{\left( 1 \right)} \left( {{{x + 1} \over {2\pi }}} \right)dx} = \cr & = {1 \over {2\pi }}\int_0^{2\pi } {e^{\,\sin \left( {x + 1} \right)} \psi ^{\left( 1 \right)} \left( {{{x + 1} \over {2\pi }}} \right) d\left( {{{x + 1} \over {2\pi }}} \right)} = \cr & = {1 \over {2\pi }}\int_{{1 \over {2\pi }}}^{{1 \over {2\pi }} + 1} {e^{\,\sin \left( {2\pi t} \right)} \psi ^{\left( 1 \right)} \left( t \right)d\left( t \right)} \cr } $$ donde $\psi ^{\left( 1 \right)} \left( t \right)$ denota el Función Trigamma .
Así que hemos reducido la integral impropia a una integral propia, mucho más manejable por integración numérica.
Mi CAS da: $$ \eqalign{ & J \approx 1 .94017 \cr & {\rm I} \approx - \,0.3796 \cr} $$
