Estoy trabajando a través de un banco de exámenes anteriores y no podía entender un problema a mi satisfacción.
Que $f(x) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\,$ ser una función continua.
- Muestran que $f$ puede tener a lo más contable muchos máximos locales estrictos.
- Asumir que $f$ no es monótona en cualquier intervalo. Luego muestran que los máximos locales de $f$ densos en $\mathbb{R}$.
Para cada una de las $\delta>0$, el conjunto de todos los $x\in\mathbb{R}$ tal que $f(y)<f(x)$ todos los $y$ $0<|x-y|<\delta$ es contable. Esto puede observarse teniendo en cuenta que el conjunto contiene más de un elemento del intervalo de $[k\frac{\delta}{2},(k+1)\frac{\delta}{2}]$ para cada entero $k$, y de estos intervalos, cubierta $\mathbb{R}$. El conjunto de locales estrictas maxima es una contables de la unión de estos conjuntos, por ejemplo, teniendo $\delta=\frac{1}{n}$ $n$ rangos de los enteros positivos.
Supongamos que $f$ es una función continua que no es monótona en cualquier intervalo. Queremos mostrar que $f$ tiene un máximo local en cada intervalo. El argumento es el mismo si el intervalo es $(0,2)$, por lo que para reducir un poco la notación que vamos a trabajar allí. Tenga en cuenta que no se monótonas en cualquier intervalo que significa que cada intervalo contiene pares de $x_1<x_2$ $y_1<y_2$ tal que $f(x_1)<f(x_2)$$f(y_1)>f(y_2)$. Por lo $(0,1)$ contiene un par de $x_1<x_2$ tal que $f(x_1)<f(x_2)$, e $(1,2)$ contiene un par de $y_1<y_2$ tal que $f(y_1)>f(y_2)$. Debido a $f$ es continuo, no es un punto de $x_0\in [x_1,y_2]$ donde $f$ tiene su valor máximo. Debido a $f(x_2)>f(x_1)$ y $f(y_1)>f(y_2)$, $x_0$ no es un extremo de $[x_1,y_2]$. Por lo tanto, $f$ tiene un máximo local en a $x_0$.
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