Resuelve la desigualdad $3 - \log_{0.5}x - \log^2_{0.5}x - \log^3_{0.5}x - \cdots \ge 4\log_{0.5}x$ ¿Alguna sugerencia de cómo empezar?
Gracias. Olvidé la fórmula para la suma de series geométricas infinitas.
Respuesta
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$$\begin{align} 3-\log_{0.5}x-\log^2_{0.5}x-\log^3_{0.5}x-\cdots&=4-\sum_{n=0}^{\infty}\log^n_{0.5}x\\\\ &=4-\frac{1}{1-\log_{0.5}x}\\\\ &=\frac{3-4\log_{0.5}x}{1-\log_{0.5}x} \end{align}$$
para $|\log_{0.5}x|<1\implies 0.5
$$\frac{3-4\log_{0.5}x}{1-\log_{0.5}x}\ge 4\log_{0.5}x$$
es equivalente a
$$\left(2\log_{0.5}x-3\right)\left(2\log_{0.5}x-1\right)\ge 0$$
lo cual implica que $\log_{0.5}x\le 0.5$ o $x\ge \sqrt{2}/2$. Por lo tanto, tenemos
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\sqrt{2}/2\le x<2}$$
De nada. Es un placer. Por favor, verifica para asegurarte de que estas desigualdades tengan sentido para ti.
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Deje $u = \log_{0.5} x$. Encuentra los valores admisibles de $u$.
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Entonces tenemos $3 - u - u^2 - u^3 - ... \ge 4u$. Aún así, no tengo idea de qué hacer a continuación.