Definición de $C^r$ campos tensores en "Analysis on manifolds" de Munkres

Question

El texto define un $k-$ campo tensorial como una función que asigna, a cada punto $x$ en un subconjunto abierto $A$ de $\mathbb{R}^n$ , a $k-$ definido en el espacio tangente $T_x(\mathbb{R}^n)$ que puede escribirse de la forma $$\omega(x)((x;\mathbf{v_1}),...,(x;\mathbf{v_k}))$$ Entonces requiere que esta función sea continua en función de $(x,v_1,...,v_k)$ y, si es de la clase $C^r$ dice que $\omega$ es un campo tensorial de clase $C^r$ .

Mi problema es con esta última afirmación. Para cada $x \in A$ , $\omega(x)$ es un tensor. No sé muy bien qué significa que un tensor sea continuo o diferenciable.

¿Significa esto que $\omega$ debe ser continua para $x$ continua para $v_1$ etc. por separado?

Answer 1

Un colector en el sentido de Munkres es un subespacio $M$ de algunos $\mathbb R^n$ con propiedades adecuadas (véase la definición en §23). En §29 Munkres también introduce el espacio tangente $T_x \mathbb R^n$ en $x \in \mathbb R^n$ como el conjunto $\{x\} \times \mathbb R^n$ que obtiene la estructura de un espacio vectorial mediante la biyección canónica $\phi_x : \mathbb R^n \to T_x \mathbb R^n, \phi_x(v) = (x,v)$ .

A $k$ -campo tensorial en un subconjunto abierto $A \subset \mathbb{R}^n$ (Munkres se limita a este caso y no define campos tensoriales en variedades arbitrarias $M \subset \mathbb R^n$ ) se define como una función $\omega$ asignando a cada punto $x \in A$ a $k$ -tensor $\omega(x)$ definida en el espacio tangente $T_x(\mathbb{R}^n)$ . Así pues (como dice explícitamente) $\omega(x)$ es una función $(T_x \mathbb R^n)^k \to \mathbb R$ . Por tanto, obtenemos una función $$\bar \omega : A \times (\mathbb R^n)^k \to \mathbb R, \bar \omega (x,v_1,\ldots, v_k) = \omega(x)(\phi_x(v_1),\ldots, \phi_x(v_k)) .$$ Pero por supuesto $A \times (\mathbb R^n)^k$ es un subconjunto abierto de $\mathbb R^{(k+1)n}$ por lo que tiene sentido llamar a $\bar \omega$ continua o $C^r$ .