Grupos de orden $n$ con un carácter cuyo grado sea al menos $0.8\sqrt{n}$ (decir)

Question

[editado en respuesta a algunas correcciones de Geoff Robinson y F. Ladisch].

En todo momento, todos mis grupos son finitos, y todas mis representaciones son sobre los números complejos.

Si $G$ es un grupo y $\chi$ es un carácter irreducible en él, de grado $d$ digamos que $\chi$ tiene grado bastante elevado si $d\geq (4/5)|G|^{1/2}$ .

Esta condición ha surgido en un trabajo que estoy realizando sobre (álgebras de Banach construidas sobre) productos directos restringidos de grupos finitos, y aunque nuestra principal preocupación era encontrar algunos ejemplos con esta propiedad, tengo curiosidad por saber si se puede decir algo más.

(He echado un vistazo rápido a los artículos de Snyder (Proc AMS, 2008) y Durfee & Jensen (J. Alg, 2011), pero no parecen dar exactamente lo que busco. Sin embargo, es muy posible que me haya perdido algo en sus observaciones).

Ejemplos. El grupo afín sobre un campo finito con $q$ elementos tiene orden $q(q-1)$ y un carácter de grado $q-1$ que tiene "un grado bastante grande" para $q\geq 3$ . El grupo afín del anillo ${\mathbb Z}/p^n{\mathbb Z}$ tiene orden $p^{2n-1}(p-1)$ y un carácter de grado $p^{n-1}(p-1)$ que tiene un grado bastante grande para $p\geq 3$ . Siendo bastante inexperto en el mundo de los grupos finitos, no se me ocurren otros ejemplos (excepto tomando productos finitos de algunos de estos ejemplos).

Algunas observaciones simplonas de un oso de poco cerebro. Un grupo puede tener como máximo un carácter de grado bastante grande (esto es inmediato a partir de $|G|=\sum_\pi d_\pi^2$ ). Si tal carácter $\chi$ existe, es real (por lo tanto racional) valorado ( editar: como señala Geoff Robinson en los comentarios, $\chi$ debe ser igual a sus conjugados de Galois, y por tanto de valor racional ), y su centro es trivial (considere su $\ell^2$ -norma). En particular $G$ no puede ser nilpotente. Además, como $\chi\phi=\chi$ para cualquier carácter lineal $\phi$ un poco de reflexión muestra que $\chi$ desaparece fuera del subgrupo derivado de $G$ .

Ahora, dejemos que ${\mathcal C}$ sea la clase de todos los grupos $G$ que poseen un carácter de grado bastante grande está claro que se cierra al tomar productos finitos. Sea ${\mathcal S}$ denota la clase de todos los grupos solubles.

Pregunta 1. ¿Existe una colección finita ${\mathcal F}$ de grupos tal que cada grupo en ${\mathcal C}$ es el producto de grupos en ${\mathcal F}\cup{\mathcal S}$ ?

Pregunta 2. ¿Podemos acotar la longitud derivada de los grupos en ${\mathcal C}\cap{\mathcal S}$ ?

Pregunta 3. Si las respuestas a Q1 y Q2 son negativas, o van más allá de la tecnología actual, ¿mejoraría algo si sustituyéramos $4/5$ con $1-\epsilon$ para el pequeño favorito $\epsilon$ ?

Pregunta 4. Puede darse el caso de que esperar una descripción de la clase ${\mathcal C}$ en términos de tipos familiares de grupo es demasiado ingenuo y optimista. Si es así, ¿podría alguien indicarme por qué? ¿Quizá se reduce a un conjunto de problemas abiertos conocidos?

Answer 1

Una buena fuente potencial de este tipo de caracteres son los grupos de Frobenius. Se trata de grupos finitos $G$ de la forma $G = KH$ donde $K \cap H = 1$ y $K \lhd G$ y además $C_{G}(x) \leq K$ para todos los elementos no identitarios $x \in K$ . Por un teorema de Thompson el grupo $K$ es necesariamente nilpotente.

Un grupo de Frobenius no mencionado en tus ejemplos viene dado por $H \cong {\rm SL}(2,5)$ y $K$ elemental abeliano de orden $121$ que admite una acción regular (sobre elementos no identitarios) mediante $H$ . El producto semidirecto es un ejemplo de grupo finito $G$ que no es resoluble, pero tiene un carácter irreducible de grado bastante grande. Sin embargo, los complementos de Frobenius que no son solubles son muy raros.

En general, los caracteres irreducibles $\chi$ de un grupo de Frobenius (general) $G$ que no contengan $K$ en sus núcleos tienen grados de la forma $|H|\mu(1)$ donde $\mu$ es un carácter irreducible de $K$ . Para tal $\chi$ grado bastante grande, es evidente que necesitamos $|H|\mu(1)^2 \geq 0.64 |K|$ . Observe también que $|K| \equiv 1$ (mod $|H|$ ). Si $|H| < |K|-1$ , entonces obtenemos la contradicción $\mu(1)^2 > 1.28 |K|$ . Así pues, los únicos grupos de Frobenius con irreducibles de grado bastante grande son aquellos en los que el complemento $H$ actúa transitivamente sobre elementos no identitarios del núcleo $K$ . Esto fuerza al núcleo $K$ ser abeliano elemental. De todos modos, parece que no obtendrás muchos ejemplos nuevos de los grupos de Frobenius (edición posterior, como queda explícito en el comentario de Noah Snyder más abajo. La versión anterior no decía lo que quería decir en cualquier caso).

Answer 2

Hay un ejemplo en la página 8 de mi periódico que puede darle un grupo de tamaño $q^3(q-1)$ y un irrep de dimensión $q(q-1)$ para cualquier potencia prima $q$ . Esto da un factor de $\sqrt{\frac{q}{q-1}}$ .

En mi artículo y en el de Durfee-Jensen (también hay un preprint de Isaacs y un preprint de Larsen-Malle-Tiep que fueron escritos entre esos dos artículos), estamos buscando representaciones cuyas dimensiones están mucho más cerca de $\sqrt{|G|}$ . Así que esos resultados no pueden aplicarse directamente a su pregunta más general. No obstante, el resultado "moral" de esos trabajos es que "tener un carácter grande debería significar que estás en el caso estudiado por Gagola y Kuisch-van der Waall". Ciertamente, cabría esperar que este resultado fuera cierto para una definición de "gran carácter" más débil que la que hemos utilizado. Sin embargo, es de esperar que demostrarlo para una definición más débil de "carácter grande" sea cada vez más difícil.

Answer 3

A continuación se enumeran todos los grupos cuyo orden es $\leq 1000$ y no igual a uno de $384, 768, 864, 896$ o $960$ que cumplan la condición del título de la pregunta -- para cada grupo damos su GAP número de identificación, el mayor grado de carácter, su cociente por la raíz cuadrada del orden de grupo y una descripción de la estructura del grupo:

• $[ 1, 1 ]$ , $1$ , $1.00000$ , $1$

• $[ 6, 1 ]$ , $2$ , $0.81650$ , ${\rm S}_3$

• $[ 12, 3 ]$ , $3$ , $0.86603$ , ${\rm A}_4$

• $[ 20, 3 ]$ , $4$ , $0.89443$ , ${\rm C}_5 \rtimes {\rm C}_4$

• $[ 42, 1 ]$ , $6$ , $0.92582$ , $({\rm C}_7 \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 54, 5 ]$ , $6$ , $0.81650$ , $(({\rm C}_3 \times {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 54, 6 ]$ , $6$ , $0.81650$ , $({\rm C}_9 \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 56, 11 ]$ , $7$ , $0.93541$ , $({\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2) \rtimes {\rm C}_7$

• $[ 72, 39 ]$ , $8$ , $0.94281$ , $({\rm C}_3 \times {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_8$

• $[ 72, 41 ]$ , $8$ , $0.94281$ , $({\rm C}_3 \times {\rm C}_3) \rtimes {\rm Q}_8$

• $[ 110, 1 ]$ , $10$ , $0.95346$ , $({\rm C}_{11} \rtimes {\rm C}_5) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 156, 7 ]$ , $12$ , $0.96077$ , $({\rm C}_{13} \rtimes {\rm C}_4) \rtimes {\rm C}_3$

• $[ 192, 184 ]$ , $12$ , $0.86603$ , $(({\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_4$

• $[ 192, 185 ]$ , $12$ , $0.86603$ , $(({\rm C}_4 \times {\rm C}_4) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_4$

• $[ 192, 1008 ]$ , $12$ , $0.86603$ , $((({\rm C}_4 \times {\rm C}_4) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 192, 1009 ]$ , $12$ , $0.86603$ , $((({\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 192, 1023 ]$ , $12$ , $0.86603$ , $((({\rm C}_4 \times {\rm C}_4) \rtimes {\rm C}_2) \rtimes {\rm C}_2) \rtimes {\rm C}_3$

• $[ 192, 1025 ]$ , $12$ , $0.86603$ , $(({\rm C}_2 \times {\rm C}_2) . ({\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2)) \rtimes {\rm C}_3$

• $[ 240, 191 ]$ , $15$ , $0.96824$ , $(({\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2) \rtimes {\rm C}_5) \rtimes {\rm C}_3$

• $[ 272, 50 ]$ , $16$ , $0.97014$ , ${\rm C}_{17} \rtimes {\rm C}_{16}$

• $[ 342, 7 ]$ , $18$ , $0.97333$ , $({\rm C}_{19} \rtimes {\rm C}_9) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 486, 31 ]$ , $18$ , $0.81650$ , $({\rm C}_{27} \rtimes {\rm C}_9) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 486, 39 ]$ , $18$ , $0.81650$ , $(({\rm C}_9 \rtimes {\rm C}_9) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 486, 40 ]$ , $18$ , $0.81650$ , $({\rm C}_3 . (({\rm C}_9 \times {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_3)) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 486, 41 ]$ , $18$ , $0.81650$ , $(({\rm C}_9 \rtimes {\rm C}_9) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 486, 127 ]$ , $18$ , $0.81650$ , $(({\rm C}_3 \times ({\rm C}_9 \rtimes {\rm C}_3)) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 486, 129 ]$ , $18$ , $0.81650$ , $(({\rm C}_3 \times ({\rm C}_9 \rtimes {\rm C}_3)) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 486, 131 ]$ , $18$ , $0.81650$ , $(({\rm C}_3 \times (({\rm C}_3 \times {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_3)) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 486, 176 ]$ , $18$ , $0.81650$ , $(({\rm C}_3 \times ({\rm C}_9 \rtimes {\rm C}_3)) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 486, 177 ]$ , $18$ , $0.81650$ , $(({\rm C}_3 \times ({\rm C}_9 \rtimes {\rm C}_3)) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 486, 178 ]$ , $18$ , $0.81650$ , $(({\rm C}_3 \times (({\rm C}_3 \times {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_3)) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 486, 179 ]$ , $18$ , $0.81650$ , $(({\rm C}_3 . (({\rm C}_3 \times {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_3)) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 486, 236 ]$ , $18$ , $0.81650$ , $(({\rm C}_3 \times (({\rm C}_3 \times {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_3)) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 486, 238 ]$ , $18$ , $0.81650$ , $(({\rm C}_3 \times ({\rm C}_9 \rtimes {\rm C}_3)) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 500, 17 ]$ , $20$ , $0.89443$ , $(({\rm C}_5 \times {\rm C}_5) \rtimes {\rm C}_5) \rtimes {\rm C}_4$

• $[ 500, 21 ]$ , $20$ , $0.89443$ , $(({\rm C}_5 \times {\rm C}_5) \rtimes {\rm C}_5) \rtimes {\rm C}_4$

• $[ 500, 18 ]$ , $20$ , $0.89443$ , $({\rm C}_{25} \rtimes {\rm C}_5) \rtimes {\rm C}_4$

• $[ 504, 160 ]$ , $18$ , $0.80178$ , $(({\rm C}_7 \rtimes {\rm C}_3) \times {\rm A}_4) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 504, 161 ]$ , $18$ , $0.80178$ , ${\rm A}_4 \times (({\rm C}_7 \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2)$

• $[ 506, 1 ]$ , $22$ , $0.97802$ , $({\rm C}_{23} \rtimes {\rm C}_{11}) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 600, 148 ]$ , $24$ , $0.97980$ , $(({\rm C}_5 \times {\rm C}_5) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_8$

• $[ 600, 149 ]$ , $24$ , $0.97980$ , $(({\rm C}_5 \times {\rm C}_5) \rtimes {\rm C}_8) \rtimes {\rm C}_3$

• $[ 600, 150 ]$ , $24$ , $0.97980$ , $(({\rm C}_5 \times {\rm C}_5) \rtimes {\rm Q}_8) \rtimes {\rm C}_3$

• $[ 672, 1257 ]$ , $21$ , $0.81009$ , $({\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times (({\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2) \rtimes {\rm C}_7)) \rtimes {\rm C}_3$

• $[ 672, 1258 ]$ , $21$ , $0.81009$ , $(({\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2) \rtimes {\rm C}_7) \times {\rm A}_4$

• $[ 702, 47 ]$ , $26$ , $0.98131$ , $(({\rm C}_3 \times {\rm C}_3 \times {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_{13}) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 812, 7 ]$ , $28$ , $0.98261$ , $({\rm C}_{29} \rtimes {\rm C}_7) \rtimes {\rm C}_4$

• $[ 840, 139 ]$ , $24$ , $0.82808$ , $({\rm C}_5 \rtimes {\rm C}_4) \times (({\rm C}_7 \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2)$

• $[ 930, 1 ]$ , $30$ , $0.98374$ , $(({\rm C}_{31} \rtimes {\rm C}_5) \rtimes {\rm C}_3) \rtimes {\rm C}_2$

• $[ 992, 194 ]$ , $31$ , $0.98425$ , $({\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2 \times {\rm C}_2) \rtimes {\rm C}_{31}$