Creo que todo lo importante que se puede decir sobre el diferencias entre los teoremas de compacidad y completitud y sus desde el punto de vista técnico. (También me gusta la respuesta detallada y esclarecedora de Joel David Hamkins (en En la teoría de modelos, ¿la compacidad implica fácilmente la exhaustividad? )). En otra parte, una de las diferencias más importantes entre estos teoremas no es técnica y, de hecho, algunas respuestas anteriores contienen pistas en este sentido. De hecho, el Teorema de Completitud tiene una tiene un evidente sabor metamatemático (o incluso filosófico), a diferencia del teorema de Teorema de la compacidad. En realidad, se trata de la relación entre dos nociones matemáticas más importantes, es decir, las de prueba y verdad.
Y aquí me gustaría discutir con aquellos (Carl Mummert y Stefan Geschke) que afirman que a veces el Teorema de Completitud se utiliza en matemáticas cotidianas. En realidad, tal como yo lo veo, es acerca de todos los días matemáticas, pero no pertenece a las matemáticas cotidianas.
En realidad, contrariamente a lo que dice Carl Mummert, dudo que, en matemáticas cotidianas, nadie en ningún momento utilice el teorema de completitud en forma explícita o implícita. Obviamente, se puede trabajar con éxito trabajar en cualquier campo de las matemáticas (que no estén íntimamente con la lógica) sin ningún conocimiento de lógica matemática. (Es evidente que sentido de la lógica, pero esto es una cuestión completamente diferente. diferente). En otras palabras (a diferencia de Carl Mummert), no puedo dificultades en un mundo alternativo en el que los matemáticos matemáticos tengan que distinguir entre "verdadero en todos los grupos los axiomas de un grupo". La razón es sencilla. No creo que nadie demuestre "que una identidad de grupo es derivable de los axiomas de un grupo trabajando semánticamente y mostrando que la identidad se mantiene en todos los grupos". Aunque no soy teórico de grupos, creo que ningún teórico de grupos está interesado en las afirmaciones demostrables a partir de los axiomas de la teoría de grupos solo . (Por otra parte, por supuesto, la enunciados elementales más importantes necesarios para empezar la teoría de grupos suelen derivarse directamente de los axiomas). La mayoría de los matemáticos trabajan en la teoría intuitiva de conjuntos y utilizan libremente las diferentes posibilidades que ofrece esta rica teoría (independientemente del hecho de que de que sea consciente de la existencia de ZFC). (En realidad, la noción misma de grupo se define como un modelo, es decir, generalmente en términos de conjuntos en lugar de una teoría de primer orden. Y, por supuesto, este definición es muy práctica, ya que, de lo contrario, cada curso sobre grupos tendría que ir precedido de una introducción a la lógica). Creo que la teoría pura de primer orden de los grupos sólo tiene un significado teórico o didáctico teórica o didáctica por ser un buen ejemplo de teoría de primer orden. de primer orden.
Tampoco estoy de acuerdo con Stefan Geschke en que "el teorema de la exhaustividad explica por qué podemos hacer matemáticas como las hacemos". Sólo al revés. Evidentemente, la metamatemática es el estudio de las verdaderas matemáticas reales por medios matemáticos exactos. Por lo tanto, sus nociones pretenden imitar las de la matemática informal cotidiana tan fielmente lo más fielmente posible. Así pues, un resultado metamatemático no puede explicar ni justificar nada. Lo que sí puede hacer es describir en términos exactos y describir en términos exactos y aclarar la forma en que se hacen normalmente las matemáticas (y, por supuesto, extraer consecuencias). consecuencias acerca de matemáticas cotidianas a partir de los resultados descripción). Pero sus resultados no afectan a la forma en que las matemáticas se matemáticas. Obviamente, haríamos matemáticas cotidianas exactamente de la siguiente manera exactamente igual si no existiera el Teorema de la Completitud. Igual que hacen matemáticos que nunca han oído hablar de este teorema. Y de hecho hacemos aritmética exactamente de la misma manera que los matemáticos antes de Gödel (que bien podían pensar que la verdadera aritmética era axiomatizable recursivamente).
