Colector no orientable (cerrado) cubierto exactamente por dos cartas

Question

Tengo la impresión de que la respuesta a esto debería ser elemental y tal vez me estoy perdiendo algo obvio; sin embargo, una búsqueda rápida en la literatura no dio ningún resultado.

Pregunta. ¿Existe un ejemplo de (posiblemente cerrado) no orientable ¿un colector liso cubierto exactamente por dos cartas? En caso afirmativo, ¿cuál es una referencia?

Por supuesto, la intersección de estos gráficos debe ser no conexa, porque la función de transición no puede cambiar de signo en un conjunto conexo.

Edita. Gae. S. muestra que la botella de Klein puede escribirse como la unión de dos cilindros abiertos (con intersección desconectada). Así pues, permítanme plantear la siguiente variante de la pregunta anterior:

Pregunta 2. ¿Existe una variedad lisa, cerrada y no orientable que pueda escribirse como la unión de exactamente dos simplemente conectado ¿Gráficos?

Answer 1

Bueno, la banda de Mobius abierta y, para el caso cerrado, la botella de Klein deberían servir, ¿no?

Para Mobius, se corta en dos franjas. Para Klein, se corta en dos cilindros, que son difeomorfos a $\Bbb R^2\setminus\{0\}$ .