Demuestre que todo grupo simple finito G tiene una representación irreducible fiel

Question

Una representación $ \rho $ : G $ \rightarrow $ GL(V) es fiel si ker( $ \rho $ )={ $ e $ }.

Una representación es irreducible si no contiene subespacios invariantes propios

G es un grupo simple sus subgrupos normales son { $ e $ } y a sí mismo.

¿Hay algo que pueda relacionarlas para demostrar la afirmación anterior?

Answer 1

Ejercicio: let $G$ sea un grupo simple y fije un campo $K$ . Entonces toda representación lineal no trivial de dimensión mínima es fiel e irreducible a menos que $G$ es cíclico de orden $p$ y $p=0$ en $K$ . En particular, si el grupo simple $G$ admite una representación lineal no trivial sobre $K$ (por ejemplo $G$ es finito), entonces admite una representación irreducible fiel (con la misma excepción única en char. $p$ )