Sea $M$ sea una variedad lisa pseudo-riemanniana con $\dim(M) \ge 2.$ Sea $\nabla$ sea cualquier conexión afín en $M$ . No hay razón para que sea la conexión Levi-Civita. Todo lo que suponemos es que tiene torsión cero.
Dados dos campos vectoriales suaves $X,Y \in \mathfrak{X}(M),$ El tensor de curvatura, con respecto a $\nabla$ viene dada por
$R(X,Y) := \nabla_X\nabla_Y - \nabla_Y\nabla_X - \nabla_{[X,Y]},$
donde $R(X,Y) : \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M).$ El tensor de curvatura de Ricci viene dado por la traza:
$ \mbox{Ric}(Y,Z) := \mbox{trace} \left[ X \mapsto R(X,Y)Z \right].$
He leído que el tensor de curvatura de Ricci mide la desviación de segundo orden entre el volumen de un $\nabla$ -y una bola geodésica euclidiana estándar. Esta explicación me plantea problemas. Una bola geodésica, centro $x \in M$ y radio $r$ se da siguiendo cada $\nabla$ -geodésica, que pasa por $x$ a distancia $r$ con respecto a la métrica pseudo-riemanniana sobre $M$ . Además de $\nabla$ sólo depende de $x \in M$ y $r \ge 0$ .
El elemento de volumen se expresa en términos de simétrico forma bilineal $h$ que es la métrica pseudo-riemanniana. Tenemos:
$\mbox{Vol}_h(X_1,\ldots,X_n) := \sqrt{|\det\left( h_{i,j} \right)|}, \ \mbox{ where } \ h_{i,j} := h(X_i,X_j).$
Una vez más, recuerde que $\nabla$ no tiene por qué ser la conexión Levi-Civita en la variedad pseudo-riemanniana $M$ . En otras palabras $\nabla h$ no tiene por qué ser idénticamente cero.
Sé cómo manipular el tensor y la notación de conexión. Pero me faltan conocimientos geométricos. No veo cómo la simetría, o no simetría, de $\mbox{Ric}$ debe tener relación alguna con el volumen de una bola, que se determina con respecto a un simétrico forma bilineal.
Agradecería alguna información y algunas referencias sobre cómo mejorar mi intuición geométrica.
