Significado geométrico del tensor de Ricci y su simetría

Question

Sea $M$ sea una variedad lisa pseudo-riemanniana con $\dim(M) \ge 2.$ Sea $\nabla$ sea cualquier conexión afín en $M$ . No hay razón para que sea la conexión Levi-Civita. Todo lo que suponemos es que tiene torsión cero.

Dados dos campos vectoriales suaves $X,Y \in \mathfrak{X}(M),$ El tensor de curvatura, con respecto a $\nabla$ viene dada por

$R(X,Y) := \nabla_X\nabla_Y - \nabla_Y\nabla_X - \nabla_{[X,Y]},$

donde $R(X,Y) : \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M).$ El tensor de curvatura de Ricci viene dado por la traza:

$\mbox{Ric}(Y,Z) := \mbox{trace} \left[ X \mapsto R(X,Y)Z \right].$

He leído que el tensor de curvatura de Ricci mide la desviación de segundo orden entre el volumen de un $\nabla$ -y una bola geodésica euclidiana estándar. Esta explicación me plantea problemas. Una bola geodésica, centro $x \in M$ y radio $r$ se da siguiendo cada $\nabla$ -geodésica, que pasa por $x$ a distancia $r$ con respecto a la métrica pseudo-riemanniana sobre $M$ . Además de $\nabla$ sólo depende de $x \in M$ y $r \ge 0$ .

El elemento de volumen se expresa en términos de simétrico forma bilineal $h$ que es la métrica pseudo-riemanniana. Tenemos:

$\mbox{Vol}_h(X_1,\ldots,X_n) := \sqrt{|\det\left( h_{i,j} \right)|}, \ \mbox{ where } \ h_{i,j} := h(X_i,X_j).$

Una vez más, recuerde que $\nabla$ no tiene por qué ser la conexión Levi-Civita en la variedad pseudo-riemanniana $M$ . En otras palabras $\nabla h$ no tiene por qué ser idénticamente cero.

Sé cómo manipular el tensor y la notación de conexión. Pero me faltan conocimientos geométricos. No veo cómo la simetría, o no simetría, de $\mbox{Ric}$ debe tener relación alguna con el volumen de una bola, que se determina con respecto a un simétrico forma bilineal.

Agradecería alguna información y algunas referencias sobre cómo mejorar mi intuición geométrica.

Answer 1

NB: Aglutino mis comentarios anteriores en una respuesta, porque creo que así es mejor que dejarlos dispersos.

Como ha señalado otro comentarista, la parte sesgada-simétrica del tensor de Ricci es el obstáculo para que exista un $\nabla$ -forma de volumen paralelo en primer lugar. Para ver esto, considere la primera identidad de Bianchi: $R^i_{jkl}+R^i_{klj}+R^i_{ljk}=0$ . Establecer $i=j$ y sumar para obtener $R^i_{ikl}+R^i_{kli}+R^i_{lik}=0$ que se convierte en $R^i_{ikl}=R^i_{kil}-R^i_{lik}$ . Ahora $\Omega = \frac12 R^i_{ikl}\ dx^k\wedge dx^l$ es la curvatura de la conexión inducida por $\nabla$ en la potencia exterior superior del haz cotangente, y $\frac12(R^i_{kil}{-} R^i_{lik})dx^k\wedge dx^l$ es la parte asimétrica del tensor de Ricci. Así, la desaparición de la parte simétrica de Ricci es equivalente a la planitud de esta conexión inducida en la potencia exterior superior.

Supongamos ahora que la curvatura de Ricci es simétrica, de modo que existe una (local) $\nabla$ -forma de volumen paralelo, digamos, $\Upsilon$ . Entonces la curvatura de Ricci tiene la siguiente interpretación: Sea $\exp_p:T_pM\to M$ sea el mapa exponencial de $\nabla$ con sede en $p$ . Entonces $$\exp^\ast_p(\Upsilon)=(1 - \tfrac13 R_{ij} x^ix^j + \cdots)\ dx^1\wedge dx^2\wedge\cdots\wedge dx^n,$$
donde $\exp^\ast_p\bigl(\mathrm{Ric}(\nabla)\bigr)_p = R_{ij}\, dx^idx^j$ . (En este caso, el $x^i$ son coordenadas lineales cualesquiera en $T_pM$ centrado en $0_p$ que son $\Upsilon$ -unimodular en $0_p$ .) Así, Ric da la desviación de la forma de volumen paralela de la exponencialmente plana. (Esto tiene sentido, aunque no se puedan definir "bolas geodésicas" sin una métrica. Se sigue comparando el volumen de vecindarios abiertos de $p$ con respecto a las dos formas volumétricas "naturales").

Answer 2

Descargo de responsabilidad : Esto no es una respuesta sino sólo un comentario, pero necesitaba más espacio.

Estimado Fly by night, tengo el mismo problema que tú con la declaración denunciada, ¿dónde la has leído?

Hasta ahora sólo había leído que en un $n$ -dimensional Riemannian manifold $(M,g)$ para cualquier $m\in M$ el valor en $m$ de la curvatura escalar $\mbox{Scal}_g$ da el coeficiente del término de segundo orden en la relación entre el volumen de la bola geodésica de radio $r$ centrado en $m$ y el volumen euclidiano de la bola de radio $r$ en $\mathbb{R}^n$ .

$$\frac{\mbox{vol}_g(B_m(r))}{\mbox{vol}_{\mbox{eucl}}(B(r))}=1-\frac{\mbox{Scal}_g(m)}{6(n+2)}r^2+o(r^2)$$

Una fuente es el §3 del Capítulo XV de Fundamentos de Geometría Diferencial de Serge Lang. Aquí sólo considera la curvatura escalar de la variedad riemanniana $(M,g)$ .

Entonces, ¿podría darme una referencia? Tengo curiosidad.

Answer 3

Puedes estudiar el siguiente articulo, te ayudara a visualizar las curvaturas de Riemann incluyendo el tensor de Riemann, tensor de ricci,... es muy util:

http://www.yann-ollivier.org/rech/publs/visualcurvature.pdf