Construcción de una topología que convierte determinados conjuntos en bases de vecindad

Question

Sea $S$ sea un conjunto y, dado $x\in S$ sea dada una colección no vacía $\mathcal N(x)$ de subconjuntos de $S$ tal que:

1) $x\in N$ para todos $N\in\mathcal N(x)$

2) Si $N,M\in\mathcal N(x)$ entonces existe un $P\in\mathcal N(x)$ tal que $P\subset N\cap M$ .

Vamos a demostrar que estas condiciones inducen una topología en $S$ girando cada $\mathcal N(x)$ en una base vecinal en $x$ .

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En primer lugar, deberíamos tener que cada $N\in\mathcal N(x)$ es una vecindad de $x$ y segundo que cada barrio $A$ debe tener un elemento $N\in\mathcal N(x)$ tal que $N\subset A$ .

La opción obvia para probar es tomar $\tau=\bigcup_{x\in S}\mathcal N(x)$ . Sin embargo, con esta definición no tengo ni idea de cómo empezar a verificar las propiedades enumeradas anteriormente; por ejemplo, para la primera tendríamos que tener que un conjunto abierto que contenga $x$ es una vecindad de $x$ .

Answer 1

Consideremos el conjunto $X=\{a,b,c\}$ donde $$\mathcal N_a=\{\{a,b\}\},\ \mathcal N_c=\{\{c,b\}\}, \text{ and }\mathcal N_b=\{\{a,b,c\}\}$$ Si usted toma sólo todos estos subconjuntos de $X$ no tendrás topología.

En su lugar, intente $$\tau=\{U\subseteq X\mid \text{for all $ x\in U $ there is an $ N\in\mathcal N_x $ with $ N\subseteq U $}\}$$

Esto le da una topología en $X$ aunque no es una topología tal que cada $N\in\mathcal N_x$ es una vecindad de $x$ . Hay una cierta condición 3) que sumado a 1) y 2) hace que la topología así definida sea $\tau$ una topología tal que cada $\mathcal N_x$ es una base de vecindad para $x$ .

Answer 2

No basta con tomar $\bigcup_{x\in S}\mathscr{N}(x)$ : no tiene por qué ser una topología. Para ver un ejemplo muy sencillo de cómo podría ocurrir, veamos $\mathscr{N}(x)=\big\{\{x\}\big\}$ para cada $x\in S$ . Entonces

$$\bigcup_{x\in S}\mathscr{N}(x)=\big\{\{x\}:x\in S\big\}\;,$$

que claramente no es una topología en $S$ . En es una base para una topología sobre $S$ sin embargo, la topología discreta.

Sea

$$\mathscr{B}=\bigcup_{x\in S}\mathscr{N}(x)\;,$$

y demostrar que $\mathscr{B}$ es una base para una topología con la propiedad deseada. Otra posibilidad es dejar que

$$\tau=\{U\subseteq S:\forall x\in U\,\exists N\in\mathscr{N}(x)\,(N\subseteq U)\}\;.$$