Secuencias exactas cortas como haces de fibras

Question

Soy un pensador muy visual, por lo que para mí, para sentir que he entendido un concepto, es bastante importante poder "ver una imagen del mismo en mi cabeza". Ahora bien, reconozco que para muchos conceptos esto es totalmente imposible (por ejemplo, no creo que nunca sea capaz de pensar en un espacio euclidiano de cinco dimensiones), pero al menos quiero poder tener una ilustración "aproximada", "caricaturesca" o "conceptualmente exacta" en mi mente.

Por ejemplo, un paquete de fibras. Me lo presentaron en una conferencia como $(E,B,\pi,F)$ espacio total, espacio base, proyección y fibra, y eso era todo. Por lo que respecta al profesor, había dado una descripción perfectamente razonable de lo que era un haz de fibras. No hacía falta darle más vueltas. Y claro, en cierto sentido, "sabía" lo que era un haz de fibras después de esa clase, pero creo que fue cuando llegué a casa más tarde ese mismo día y busqué en Google y empecé a ver imágenes de cepillos para el pelo y rayas de Möbius y otras cosas cuando realmente me di cuenta de lo que era un haz de fibras. conocía lo que era un manojo de fibras.

Así pues, un tema que me ha confundido durante mucho tiempo son secuencias exactas cortas . Cuando me los presentaron por primera vez, el concepto, aunque sencillo, parecía eminentemente arbitrario: la imagen de un mapa es el núcleo del siguiente. ¿Por qué es interesante? Por supuesto, gracias a la geometría diferencial y a lo poco que sabía de topología algebraica en aquella época, sabía que tales secuencias de estructuras y mapas entre ellas se daban con frecuencia en matemáticas, pero no veía por qué eran estructuras interesantes. en sí mismos . ¿Cuál fue el concepto que codificaron?

Siento que mi comprensión es mucho mejor ahora, después de haber echado un vistazo a algunas preguntas publicadas por otros usuarios de Stack Exchange con el mismo escollo que yo, tales como ¿Qué son las secuencias exactas, metafísicamente hablando? y Significado intuitivo de Secuencia exacta . No obstante, aún no estoy seguro al 100%, por lo que planteo esta pregunta en el mismo sentido para ver con usuarios más entendidos si este entendimiento es correcto:

Una de las explicaciones que he oído dar a las secuencias exactas cortas es que pretenden ilustrar estructuras que son "casi espacios producto", en el sentido de que $$0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$$ junto con el trivial $$0 \rightarrow A \rightarrow A \oplus C \rightarrow C \rightarrow 0$$ implica que $B$ es "casi" $A \oplus C$ . Esto me lleva a preguntarme si es justo considerar las secuencias exactas cortas como "haces de fibras generalizados", o haces de fibras en los que los "espacios" son grupos, anillos, módulos, etc., de forma parecida a como la banda de Möbius es "casi" un cilindro.

Espero sus respuestas.

Answer 1

Intentaré aclarar los haces de fibras. Creo que la razón por la que te resultan difíciles de entender visualmente es por la vieja imagen del pato y el conejo. Por un lado, se trata de un pato y, por otro, de un conejo.

Estas dos interpretaciones consisten en considerar un espacio muestral (un conjunto con elementos utilizados en estadística y probabilidad) como un espectro o como una vecindad. Cada una de ellas son invariantes topológicas en un espacio de Hilbert y un espacio de Banach, respectivamente.

Si consideramos un haz de fibras como un espectro, lo llamamos Clase. Por el contrario, si lo vemos como un barrio, es un Carácter.

Para cubrirlos individualmente, una clase es un espacio de fase que está confinado por curvatura, tal que la proyección es afín y es única para la incrustación. Este espacio de fase suele ser la solución de alguna ecuación diferencial, parcial o no, que especifica la acción o continuidad de la partición de la topografía. Son los llamados difeomorfismos. En esencia, los números de clase son las particiones de una frontera, siendo el número "taxi" el sumo de la forma modular.

Un carácter es un espacio nulo expandido, en el que la base del haz resuelve el functoide como resultante. Son las llamadas transformaciones. A mí me resultan complicadas, ya que permanecen firmemente arraigadas en el álgebra aunque estés utilizando el análisis armónico.

Los caracteres de clase se combinan en matemáticas para crear variedades algebraicas, estas son bastante nulas las recursiones a las que haces referencia en tu pregunta. En dimensiones superiores se denominan clases de Chern-Calabi y en física, sobre todo en mecánica cuántica, se conocen como recursiones.