Argumento de densidad del principio de incertidumbre

Question

Demostré el Principio de Incertidumbre de Heisenberg para $f$ en el espacio de Schwartz $ S(\mathbf R)$ :

$$ \int_{\mathbf R} |\xi \hat{f}(\xi)|^2 \int_{\mathbf R} |xf(x)|^2 dx \geq \frac{1}{(4\pi)^2} |f|_{L^2(\mathbf R)}^4. $$

Ahora estoy teniendo muchos problemas para ampliarlo para $f\in L^2(\mathbf R)$ . Por supuesto, tenemos que utilizar la densidad de $S(\mathbf R)$ en $L^2(\mathbf R)$ y utilizar ese $xf(x)$ , $\xi\hat{f}(\xi) \in L^2(\mathbf R)$ (de lo contrario, la desigualdad es trivial). Pero no se me ocurre cómo aproximar todo al mismo tiempo.

¿Algún consejo o sugerencia?

Gracias.

Answer 1

Vamos a tomar $f_n=\varphi_n *f$ con $\varphi_n(x)=n\varphi(nx)$ y $\varphi\in C_0^{\infty}$ , $\int\varphi =1$ . Suponemos que $f,xf,\xi\widehat{f}\in L^2$ .

Entonces $\int_{-L}^L |f_n-f|^2\to 0$ por un argumento de aproximación estándar, y si elegimos $L>0$ suficientemente grande, entonces tanto $\int_{|x|>L}x^2|f|^2$ y $\int_{|x|>L}x^2|f_n|^2$ son pequeñas. Así que $\|xf_n-xf\|\to 0$ .

Del mismo modo, $\xi\widehat{f}=c\widehat{f'}$ y $f'_n=\varphi_n *f'\to f'$ en $L^2$ ; alternativamente, $\xi \widehat{f_n}-\xi\widehat{f}=\xi\widehat{f}(\widehat{\varphi}(\xi/n)-1)$ va a $0$ en $L^2$ por convergencia dominada.

(Esencialmente, lo que hacemos aquí es aprovechar el hecho de que las funciones suaves son densas en los espacios de Sobolev).