¿La inclusión de un espacio unidimensional en otro induce isomorfismo en grupos fundamentales si los espacios tienen grupo fundamental $\mathbb{Z}$ ?

Question

Sea $A \subset B$ sean complejos CW unidimensionales que tengan ambos grupo fundamental $\mathbb{Z}$ . ¿La inclusión $A \hookrightarrow B$ inducen un isomorfismo en los grupos fundamentales?

Corolario 3.3 de https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864105002907 dice que la inclusión induce una inyección en grupos fundamentales, pero no he encontrado una referencia que diga que tenemos una suryección en este caso especial.

Answer 1

Si, por ejemplo, $B$ es un finito $1$ -CW-complejo, y $A$ es un subcomplejo, entonces sabes que puedes obtener $B$ de $A$ adjuntando un número finito de $0$ -células y $1$ -células. También sabes que puedes unirlas una a una.

Digamos que adjunta cada $0$ -Primero la célula.

Entonces se trata de una inducción sobre el número de $1$ -células : para $n=0$ , $A=B$ por lo que su grupo es isomorfo. Supongamos que estamos en algún paso de la inducción, y que el espacio que tenemos es $A^\prime$ con la inclusión $A\subset A^\prime$ induciendo un isomorfismo del $\pi_1$ s. Entonces, si adjunta una $1$ -hay dos casos: o bien el mapa $\varphi:S^0=\{-1, 1\}\to A^\prime$ equivalente a los datos de $x,\ y\in A^\prime$ es tal que $x=y$ o bien $x\neq y$ . Si $x=y$ y añadimos una copia de $S^1$ à $A^\prime$ . Si $x=y$ está en $A^\prime$ Van Kampen dice que hay una copia de $\mathbb Z * \mathbb Z$ en el nuevo $\pi_1$ lo cual no es posible por tu argumento de inyectividad. Así que $x=y$ no están en $A^\prime$ y añadimos un círculo en otro lugar. Esto no afecta a la $\pi_1$ basado en un punto de $A^\prime$ . Ahora bien, si $x\neq y$ puede ocurrir que estemos enlazando $A^\prime$ a un círculo que añadimos en otro lugar en algún paso anterior de la inducción. Pero es fácil ver que de nuevo tenemos una $\pi_1$ que es estrictamente mayor que $\mathbb Z$ imposible por el argumento de la inyectividad. Por lo tanto, sólo estamos añadiendo una línea que se puede contraer, por lo que la inclusión todavía induce un isomorfismo en el $\pi_1$ s. Hemos terminado.

Answer 2

Después de pensarlo un poco, creo que he demostrado la afirmación más general:

Sea $i : A \hookrightarrow B$ sea una incrustación de espacios, donde $A$ es una métrica compacta, conexa y localmente conexa, y $B$ es una métrica compacta, y con $B \backslash A$ unidimensional. Si $\pi_1(A) = \pi(B) = \mathbb{Z}$ entonces $i$ induce un isomorfismo en los grupos fundamentales.

Prueba:

La prueba utiliza el lema 3.1 de https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864105002907 que dice que $B$ se retrae a $A$ . Esto significa que la composición $A \hookrightarrow B \to A$ es la identidad en $A$ . La composición inducida en grupos fundamentales $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ es entonces la identidad en $\mathbb{Z}$ por lo que el primer mapa debe ser un isomorfismo.