Curvas racionales o elípticas en las tríadas de Calabi-Yau

Question

Sea $X$ sea un tríptico de Calabi-Yau. Desde un punto de vista analítico complejo, se cree ampliamente que no debería ser hiperbólico de Kobayashi, es decir, que siempre debería admitir algún mapa entero no constante desde el plano complejo $f\colon\mathbb C\to X$ .

Se podría ser aún más ambicioso y preguntarse si una tríplex de Calabi-Yau contiene siempre una curva racional o elíptica (o, más en general, una imagen no constante de un toroide complejo).

En su mayoría, los teóricos de cuerdas han producido montones de ejemplos de este tipo de variedades, principalmente por adjunción o resolución crepuscular de singularidades. Así que mi pregunta es:

¿Es cierto que en todos los ejemplos conocidos de triplez de Calabi-Yau siempre se puede encontrar una curva racional o elíptica (o, más en general, una imagen no constante de un toroide complejo)?

Gracias de antemano.

Answer 1

Permítanme dar una respuesta parcial.

La mayoría de los ejemplos conocidos de las tríadas de Calabi-Yau contienen curvas racionales. Sin embargo, existen ejemplos de tríplex de Calabi-Yau sin curvas racionales.

Puede encontrar algunos de ellos en el artículo de Oguiso y Sakurai Triplos de Calabi-Yau de tipo cociente Asian Journal of Mathematics 5 (2001).

Estas tríadas, que los autores denominan "de tipo A", se construyen como el cociente af una tríada abeliana $A$ por un grupo finito de automorfismos libre de punto fijo adecuado.

Además, un triplez de Calabi-Yau $X$ es de tipo A si y sólo si $c_2(X)=0$ y en este caso el número de Picard $\rho(X)$ es $2$ o $3$ .

De hecho, los autores plantean como cuestión abierta si todo triplez de Calabi-Yau de número Picard $\rho \neq 2,3$ contiene curvas racionales.

No sé si las tríadas de Calabi-Yau de tipo A contienen elíptica pero probablemente se pueda comprobar directamente, ya que la construcción es muy explícita.